Kugelvolumen mit Hilfe der Scheibenmethode

Wie wird die Kugel zerschnitten?

Bei einer Halbkugel wird der Radius (Höhe) in n Teile geteilt und daraufhin in Scheiben zerschnitten. Man kann jetzt das Volumen der Kugel durch Scheiben (=dünne Zylinder, die alle dieselbe Höhe h=r/n haben) annähern. Die Volumina der Scheiben lassen sich berechnen, wenn man die Volumenformel für Zylinder kennt.

Bei nebenstehendem Bild (aus [1]) wurde die Höhe der Halbkugel einmal in 8 und einmal in 20 gleichgroße Stücke geteilt. Man sieht jeweils zwei Möglichkeiten der Annäherung: Einerseits durch Scheiben, die alle in die Halbkugel hineinpassen (also von innen), andererseits von außen (lediglich die Grundflächen der Zylinderscheiben liegen vollständig in der Halbkugel). Die jeweiligen Summen der Volumina (der äußeren bzw. der inneren Scheiben) werden mit Vi bzw. Va bezeichnet. Bei einer Teilung der Höhe in n Teile besteht Va aus genau n und Vi aus (n-1) Teilen. Außerdem gilt: Bis auf die unterste Scheibe von Va sind die Teilvolumina von Va und Vi gleich: Die (n-1) Teile von Vi erscheinen um h=r/n nach oben verschoben bei Va wieder. Vi und Va unterscheiden sich also nur um r2pi*h = r2pi*r/n.

 

 

 

Wie werden die Teilvolumina berechnet?

Mathematische Experimente zur Volumenberechung

Berechnung der Summe der Quadrate natürlicher Zahlen

Grenzübergang und endgültige Formel