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Der Zentralriß der Verfolgerschicksalslinie

 

Anhand der Gegenüberstellung im anschließenden Applet vergleichen wir nun die Ergebnisse unserer Zentralprojektion der Schielwinkelverfolgung mit den Ergebnissen der Hilfssätze über Kegelschnitte. Offensichtlich lassen sich beide Problemstellungen miteinander identifizieren, wenn wir Q(0) mit dem Brennpunkt F des Kegelschnitts c und O' mit dem Mittelpunkt $F^\circ$ des Kreises $c^\circ$ zusammenfallen lassen.

Applet 1: Ergebnis der Zentralprojektion
Applet 2: Ergebnis der Hilfssätze

Somit identifizieren wir letztendlich unseren gesuchten Kegelschnitt k[c] mit dem Kegelschnitt c, da die Tangente $XX^\circ$ an c der Fortschreitung t[c] (unserer Tangente an k[c]) entspricht.

Der durch $\sigma$ festgelegte Kegelschnitt c wird aber nur dann mit unserem gesuchten Zentralriß k[c] der Verfolgerschicksalslinie k übereinstimmen, wenn er durch die Startposition P(0) des Verfolgers verläuft. Da wir das Projektionszentrum O beliebig auf l gewählt haben, wird diese Anfangsbedingung im allgemeinen nicht erfüllt sein. Durch eine zentrische Streckung des Kegelschnitts c von Q(0) aus, kann diese Bedingung jedoch stets erzwungen werden.

Die oben beschriebene Identifizierung beider Applets liefert uns ferner die numerische Exzentrizität $\epsilon$ des gesuchten Kegelschnitts k[c]. Folgende kurze Rechnung zeigt uns, daß $\epsilon$ gleich dem Geschwindigkeitsverhältnis von Ziel zu Verfolger ist:

\begin{displaymath}
\epsilon=GM:MA=GF^\circ :F^\circ A^\circ =FF^\circ :F^\circ X^\circ =Q(0)O':O'T[c]=u:v. \end{displaymath}

 Folglich gilt:
Der Kegelschnitt k[c] ist eine $\left\{
\begin{array}
{l@{\quad falls \quad u}c@{v \quad (\epsilon}c@{1)}l@{}}
...
 ...& < & , \ Parabel, & = & = & , \ Hyperbel, & \gt & \gt & .\end{array} \right.$

Aufgrund unserer bisherigen Erkenntnisse können wir nun den Zentralriß k[c] der Verfolgerschicksalslinie k eines beliebigen Schielwinkelkurvenproblems konstruieren (ausgenommen die Spezialfälle $\epsilon =1$ und $\sigma =\pm 90^\circ$, in denen die folgende Konstruktion ausartet).

Die besagte Konstruktion kann Schritt für Schritt im anschließenden Applet nachvollzogen werden. Im zweiten und dritten Schritt wird die Kenntnis der Fundamentaleigenschaft von Ellipsen und Hyperbeln ($\epsilon \neq 1$) vorausgesetzt, die wie folgt lautet:
 Die Ellipse (beziehungsweise Hyperbel) ist der Ort aller Punkte, deren Abstände vom Brennpunkt und der dem Brennpunkt zugehörigen Leitlinie sich wie $\epsilon :1$ verhalten.

Applet: Konstruktion des Zentralrisses.


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Susanne Neuhaeusler
12/18/1997