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Der Hyperbolische Treffer

 

Die Hundekurven nach Bouguer (ohne Schielwinkel) sind ein Spezialfall der Hyperbolischen Treffer. Wir bekommen deren Lösung in diesem Abschnitt somit quasi gratis mitgeliefert.

Sei nun die zu bestimmende Schielwinkelkurve wie immer durch die Angabe von

* Q(0) und P(0)
(Ziel- und Verfolgerstartposition, wobei $P(0) \neq Q(0)$),
* u und v
(Geschwindigkeit u des Ziels und v des Verfolgers),
* $\sigma$
(Schielwinkel) und
* l'
(der Fluchtgeraden)
festgelegt. Desweiteren zeichnet sich der Hyperbolische Treffer speziell durch die Gültigkeit der Ungleichungskette

 
 \begin{displaymath}
0 \leq \sin \sigma < \epsilon = \frac{u}{v} < 1\end{displaymath} (12)
aus.

Sei ferner der Startabstand der Akteure P(0)Q(0) mit r(0) (> 0) und der Richtungswinkel l'Q(0)P(0) in Bezug auf l' mit $\varphi (0)$ bezeichnet.

Applet: Startabstand r(0) und Richtungswinkel .

Zur analytischen Darstellung der hyperbolischen Trefferbahn, werden wir in einem ersten Schritt die Treffzeit T (den Zeitpunkt des Zusammentreffens von Ziel und Verfolger im Punkt O') bestimmen, indem wir den Zentralriß k[c] der Verfolgerschicksalslinie k näher untersuchen.

Wegen (12) ist $\epsilon < 1$, womit der Kegelschnitt k[c] eine Ellipse ist und wir erhalten mit der Fundamentaleigenschaft für den Abstand des Punktes P(0) von der zum Brennpunkt Q(0) der Ellipse k[c] gehörigen Leitlinie q den Wert $\frac{r(0)}{\epsilon}$.

Applet: Abstand f des Brennpunkts Q(0)
von der zugehörigen Leitlinie q (I).

Folglich ergibt sich als Abstand f des Punktes Q(0) von der Leitlinie q zum einen

 
 \begin{displaymath}
f = \frac{r(0)}{ \epsilon } - {r(0) \cdot \cos (\varphi (0) -
\sigma )}
\: .\end{displaymath} (13)

Da die Fundamentaleigenschaft aber auch für den Ellipsenscheitel A (als Punkt der Ellipse k[c]) gilt, können wir für den Abstand f zum anderen

 
 \begin{displaymath}
f = (a-e)+ \frac{a-e}{ \epsilon }\end{displaymath} (14)
schreiben, wobei e die lineare Exzentrizität der Ellipse k[c] und a ihre Halbachse durch den Punkt Q(0) sei:

Applet: Abstand f des Brennpunkts Q(0)
von der zugehörigen Leitlinie q (II).

Mit $\epsilon = \frac{e}{a}$ erhalten wir nun aus (14) den Wert der linearen Exzentrizität e der Ellipse k[c]:

 
 \begin{displaymath}
e = \frac{ \epsilon ^2 f}{1- \epsilon ^2}\end{displaymath} (15)
und wir können den Gesamtweg Q(0)O' des Ziels mit

 
 \begin{displaymath}
Q(0)O'= \frac{e}{ \cos \sigma } = u \cdot T = \epsilon v \cdot T\end{displaymath} (16)
angeben. Daraus erhalten wir schließlich zusammen mit (13) und (15) unsere gesuchte Treffzeit T (Treffzeitformel von Hosemann):

 
 \begin{displaymath}
T = \frac{r(0)}{v} \cdot \frac{1 - \epsilon \cos ( \varphi (0) -
\sigma )}{(1 - \epsilon ^2) \cos \sigma} \: .\end{displaymath} (17)

Unter den Voraussetzungen des Hyperbolischen Treffers (12) tritt das Treffereignis also stets nach endlicher und positiver Zeit T ein.

Dank unserer Vorarbeit können wir nun die Schielwinkelverfolgerbahn im Fall des Hyperbolischen Treffers analytisch darstellen. Um eine möglichst einfache Darstellung der Kurve zu erhalten, werden wir zwei Koordinatentransformationen durchführen.

In einer ersten Koordinatentransformation verschieben wir den Ursprung unseres dreidimensionalen Normalkoordinatensystems in den Punkt O des Treffereignisses und lassen die x-Achse parallel zur Nebenachse der Ellipse k[c] und die y-Achse parallel zu deren Hauptachse verlaufen:

Applet: Lage der x- beziehungsweise y-Achse.

Die z-Achse sei weiterhin proportional zur Zeit t mit $z=v\cdot t$. Da der Koordinatenursprung mit dem Treffpunkt übereinstimmt, schneidet unsere zur xy-Ebene parallele Grundebene $\Pi$ die z-Achse im Punkt $(0,0,-v \cdot T)$.

In einem weiteren Schritt benötigen wir die homogenen Koordinaten (Verhältniskoordinaten) unserer Elemente der Fernebene $\omega$. Da diese mit den homogenen Koordinaten entsprechender Zentralrißelemente in unserer Ebene $\Pi$übereinstimmen, können wir sie ohne großen Aufwand angeben.

So lautet die Gleichung des Böschungsfernkreises d analog zu der Darstellung des Distanzkreises d[c]

 
 \begin{displaymath}
 x^2+y^2+z^2=0 \:\end{displaymath} (18)
und aus den Koordinaten des Punktes W[c] erhalten wir die homogenen Koordinaten

 
 \begin{displaymath}
 x_W:y_W:z_W= \epsilon : 0 : \sin \sigma\end{displaymath} (19)
des Punktes W der Fernebene $\omega$.

Die Gleichungen (18) und (19) liefern uns im folgenden sofort die homogenen Koordinaten der (im Fall des Hyperbolischen Treffers reellen) Berührungspunkte U und V von d mit dem Kegel 2. Ordnung K:

 
 \begin{displaymath}
 x_{U,V} : y_{U,V} : z_{U,V} = \sin \sigma : \pm w : \epsilon \: ,\end{displaymath} (20)
wobei

 
 \begin{displaymath}
 w= \sqrt{\epsilon ^2 - \sin ^2 \sigma} \: .\end{displaymath} (21)

Die Gleichung der Ebene OUV errechnet sich nun sofort zu

 
 \begin{displaymath}
 \epsilon x - z \sin \sigma =0 \: .\end{displaymath} (22)

Zur Bestimmung des Trägerkegels K hilft uns an dieser Stelle seine Doppelberührung mit der Ebene OUV und dem wohldefinierten Drehkegel D mit Basis d und Spitze O weiter. Dieser Kegel D und die Doppelebene OUV stellen uns nämlich ein ganzes Kegelbüschel zur Verfügung, das diese Doppelberührung erfüllt. Aus diesem Büschel müssen wir nur noch denjenigen Kegel auswählen, dessen sämtliche Schichtenellipsen die numerische Exzentrizität $\epsilon$ besitzen. Mathematisch formuliert erhalten wir so

 
 \begin{displaymath}
 (1- \epsilon ^2 )(x^2+y^2-z^2)+(\epsilon x - z \sin \sigma )^2 =0\end{displaymath} (23)
als Gleichung des Trägerkegels 2. Ordnung K.

Schließlich lassen sich unter Einbeziehung der Treffzeit T die Normalkoordinaten des Verfolgerstartpunktes P(0) mit

\begin{eqnarray*}
x_0 & = & -vT \cdot \sin \sigma + r(0) \cdot \sin (\sigma - \v...
 ...\cdot
\cos (\sigma - \varphi (0)) \: , \nonumber \ z_0 & = & -vT\end{eqnarray*}

angeben.

Da wir wissen, daß die gesuchte Verfolgerschicksalslinie k die Bahnkurve der Affinitätsgruppe $\kappa ^n$ ist, bietet es sich (zwecks möglichst einfacher Darstellung der Gleichung der Verfolgerkurve) geradezu an, das Fixtetraeder OUVW dieser Gruppe als Koordinatentetraeder zu verwenden. Mit anderen Worten führt uns die angekündigte zweite Koordinatentransformation auf ein schiefwinkliges Koordinatensystem $\xi$, $\eta$, $\zeta$ mit den Geraden OU, OV, OW als Koordinatenachsen.

Unter Verwendung der homogenen Koordinaten der Punkte U, V (20) und W (19) können wir folgende Substitutionen zur Umrechnung der Normalkoordinaten x, y, z in die neuen schiefwinkligen Koordinaten $\xi$, $\eta$, $\zeta$ (und umgekehrt) angeben:

* Umrechnung von x, y, z in $\xi$, $\eta$, $\zeta$ :
\begin{eqnarray*}
 \xi & = & x \sin \sigma - w y - \epsilon z \: , \nonumber \ ...
 ... z \: , \nonumber \ \zeta & = & \epsilon x - z \sin \sigma \: . \end{eqnarray*}

* Umrechnung von $\xi$, $\eta$, $\zeta$ in x, y, z :
\begin{eqnarray*}
 2 w^2 \cdot x & = & - (\xi + \eta ) \sin \sigma + 2 \epsilon
...
 ...cdot z & = & \epsilon ( \xi + \eta ) + 2 \zeta \sin \sigma \: .
 \end{eqnarray*}

Wir können also ohne weiteres die im Normalkoordinatensystem erarbeiteten Ergebnisse auf die schiefwinkligen Koordinaten übertragen:

So lautet die Gleichung unseres Böschungsfernkreises d (18) nach Substitution in den neuen Koordinaten

 
 \begin{displaymath}
 \xi \eta = \zeta ^2\end{displaymath} (24)
und die des Trägerkegels K (23)

 
 \begin{displaymath}
 (1 - \epsilon ^2 ) \xi \eta = \zeta ^2 \cdot \cos ^2 \sigma \:.\end{displaymath} (25)

Schließlich könnten wir analog die schiefwinkligen Koordinaten $\xi _0$, $\eta _0$, $\zeta _0$ von P(0) angeben. Da wir diese im folgenden aber nicht explizit benötigen, wollen wir uns diese Umrechnung ersparen.

Kommen wir aber nun auf die Affinitätsgruppe $\kappa ^n$ zurück. Für $\kappa \in \kappa ^n$ können wir allgemein

 
 \begin{displaymath}
 \kappa (\xi _0, \eta _0, \zeta _0) = (A \cdot \xi _0, B \cdot \eta _0, C \cdot \zeta _0)\end{displaymath} (26)
ansetzen.

Wird $\kappa$ t-mal (t>0) auf den Verfolgerstartpunkt P(0) angewandt, erhalten wir t als Exponenten von A, B und C. Deshalb läßt sich die eingliedrige kontinuierliche Gruppe $\kappa ^n$ mit t als Parameter wie folgt darstellen:

 \begin{eqnarray*}
 \xi & = & e^{\alpha t} \cdot \xi _0 \: , \nonumber \ \eta & ...
 ... _0 \: ,\nonumber \ \zeta & = & e^{\gamma t} \cdot \zeta _0 \: .\end{eqnarray*}

Mit diesen Gleichungen liegt bereits die Parameterform der vom Punkt P(0) aus durchlaufenen Bahnkurve der Gruppe $\kappa ^n$vor. Wir brauchen nun nur noch die Exponenten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ gemäß unserer Schielwinkelproblemstellung bestimmen, um schließlich die gesuchte Gleichung der Böschungslinie k zu erhalten.

Folgende Bedingungen muß die Bahnkurve der Affinitätsgruppe $\kappa ^n$ noch erfüllen, um mit unserer Verfolgerschicksalslinie k übereinzustimmen:

* Invarianz von d oder K unter $\kappa ^n$:
Der Trägerkegel K oder der Böschungsfernkreis d müssen unter $\kappa ^n$ invariant sein . Aus den Gleichungen für d (24) beziehungsweise K (25) wird ersichtlich, daß die Bedingung

 
 \begin{displaymath}
 \alpha + \beta = 2 \gamma\end{displaymath} (27)
an die Exponenten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ diese Forderung gewährleistet.

* Steigung der Bahnkurve von $\kappa ^n$ mit $45^\circ$ gegen $\Pi$:
Die Steigung der Verfolgerschicksalslinie k gegen die Grundebene $\Pi$ beträgt bekanntlich $45^\circ$. Dies äußert sich in der Fernebene im Schnitt der Tangenten an k mit dem Böschungsfernkreis d. Folglich müssen auch die Tangenten an die Bahnkurve der Gruppe $\kappa ^n$ diese Eigenschaft erfüllen. Mathematisch bedeutet dies, daß die Zuwächse $d \xi$, $d \eta$und $d \zeta$ unter der Voraussetzung (25) gemäß (24) die Beziehung $d \xi \, d \eta = d \zeta ^2$ zu erfüllen haben. Wegen $\frac{d \xi}{dt} = \alpha e^{\alpha t} \xi _0 =
\alpha \xi $ gilt $d \xi = \alpha \xi \, dt$. Analog erhalten wir: $d \eta = \beta \eta \, dt$ und $ d \zeta = \gamma \zeta \,
dt$. Als zweite Bedingung an die Exponenten ergibt sich folglich:

 
 \begin{displaymath}
 \frac{\alpha \beta}{1 - \epsilon ^2} = \frac{\gamma ^2}{\cos ^2 \sigma} \: .\end{displaymath} (28)

Setzen wir den Exponenten $\gamma = 1$, erhalten wir aus den beiden Bedingungen (27) und (28) für die beiden anderen Exponenten die Werte

\begin{displaymath}
\alpha = 1 \pm n \; \; {\rm und} \; \; \beta = 1 \mp n \; \; {\rm mit} \; \; n := \frac{w}{\cos \sigma} < 1 \: .\end{displaymath} (29)
Über die letztendlich richtige Vorzeichenverteilung können wir uns im Klaren werden, wenn wir bedenken, daß die Kollineation $\Phi$, die den Zentralriß

\begin{displaymath}
P[c](\xi : \eta : \zeta)\end{displaymath}

der Verfolgerposition

\begin{displaymath}
P(\xi : \eta : \zeta)\end{displaymath}

in den Tangentenfluchtpunkt

\begin{displaymath}
T[c](d \xi : d \eta : d \zeta = \alpha \xi : \beta \eta : \gamma \zeta )\end{displaymath}

überführt, auch den Brennpunkt

\begin{displaymath}
Q(0)(x:y:z = \epsilon \sin \sigma : \epsilon \cos \sigma : 1)\end{displaymath}

des Basiskegelschnitts k[c] in den Kreismittelpunkt

transformieren muß. Demnach gilt:

 
 \begin{displaymath}
 \alpha = 1-n \; \; {\rm und} \; \; \beta = 1+n \; \; {\rm mit} \; \; n := \frac{w}{\cos \sigma} < 1 \: .\end{displaymath} (30)

Schließlich führen wir noch den Parameter

\begin{displaymath}
\vartheta = e^t\end{displaymath} (31)
ein und erhalten für die Verfolgerschicksalslinie k die einfache Parameterdarstellung

\begin{eqnarray*}
 \xi & = & \xi _0 \cdot \vartheta ^{1-n} \: , \nonumber \ \et...
 ...ot \vartheta ^{1+n} \: , \nonumber \ \zeta & = & \zeta _0 \: .
 \end{eqnarray*}

Vermöge der obigen Substitution können wir nun leicht zu den Normalkoordinaten x, y ,z zurückkehren. Die Koordinaten x und y beschreiben offensichtlich die absolute Verfolgerbahn k' im Fall des Hyperbolischen Trefferereignisses.

Die z-Koordinate der Parameterdarstellung kann uns nun zusätzlich Aufschluß über den Zeitablauf der Verfolgung liefern. Der Parameter $\vartheta = e^t$ hat Werte zwischen null und eins zu durchlaufen. Die Grenzwerte $\vartheta = 1$ und $\vartheta = 0$liefern die Verfolgerstartposition x = x0, y=y0, z = -vT und die Treffkoordinaten x=y=z=0. Lassen wir für $\vartheta$auch Werte größer als 1 zu, erhalten wir die Rückwärtsverlängerung der Verfolgerbahn.

Die relative Verfolgerbahn ks im Zielsystem errechnet sich als Parallelprojektion der Schicksalslinie k wie folgt:

\begin{displaymath}
\begin{array}
{c}
 x_s=x- \epsilon z \cdot \sin \sigma \: ,\  y_s = y - \epsilon z \cdot \cos \sigma \: .
 \end{array}\end{displaymath}

Applet: Hyperbolischer Treffer ( = 40, = 3/4):
absolute () und relative () Verfolgerbahn.


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Susanne Neuhaeusler
12/18/1997