next up previous contents
Next: Das Käferproblem Up: Verfolgungsprobleme Previous: Einleitung

Verfolgungsprobleme - ein historischer Überblick

 

,,And God said, ,Let there be light`; and there was light. The Hebrew text uses the same word for the command and its fulfillment. But we can imagine the angelic architect asking for more details: ,What path shall light follow in going from P to Q ? ` And the answer might have been, ,Don't bother me with such details. See that it makes the trip in a minimum time.` [...] And God saw that the light was good.`` [2b, S. 206]

Begegnen wir diesem Szenario um die biblische Schöpfung mit der nötigen Großzügigkeit, könnten wir zu dem Schluß kommen, daß Bewegungsprobleme - zu deren Klasse die Verfolgungsprobleme zählen - noch älter als Menschengedenken sind.

Bis in die Ursprünge der Menschheit reichen die Verfolgungsprobleme allemal zurück, waren unsere Vorfahren doch zum Überleben auf die Jagd angewiesen. Einzug in die Geschichte der Mathematik hielten sie freilich erst mit ihrer expliziten mathematischen Formulierung.

Während Bewegungsaufgaben in ägyptischen und babylonischen Texten nicht überliefert sind, stammen die ersten schriftlichen Belege hierfür aus China. [10, S. 588] Verfolgungsaufgaben bestanden dort im Lösen mathematisierter Alltagsprobleme: ein Pferdedieb sollte verfolgt, ein von einem Gast vergessenes Kleid diesem nachgetragen oder ein Wanderer von einem zweiten eingeholt werden. In einem der bekanntesten Rechenbüchern der frühen Hanzeit (202 v. Chr. bis 9 n. Chr) dem Chiu Chang Suan Shu finden wir sogar schon das Motiv des einen Hasen verfolgenden Hundes, das sich wie ein roter Faden durch die Geschichte der Verfolgungsproblematik zieht. ,,Hier gibt der Hund zeitig die Verfolgung auf und es wird gefragt, wann der den Hasen erreicht hätte.`` [10, S. 590]

Später tauchen Verfolgungsprobleme auch in indischen, arabischen und byzantinischen Schriften auf. Im Unterschied zu den chinesischen Fragestellungen kann sich hier die Geschwindigkeit der Akteure während der Verfolgung ändern. Dabei finden sich in Indien verstärkt Bewegungsaufgaben entlang den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks; meist ,,handelt es sich um Tiere, von denen das eine das andere erjagen will, wobei beide gleiche Wege zurücklegen sollen. In einer Aufgabe [...] ist die Kathete eine 9 Ellen hohe Säule, an deren Fuß sich ein Loch befindet und auf deren Spitze ein Pfau sitzt. Er will eine Schlange fangen, die sich in einer Entfernung von 27 Ellen aus in das Loch retten will. Ist (27-x) die andere Kathete, dann gilt 92 + (27-x)2 = x2, wenn x der Weg der beiden Tiere ist.`` [10, S. 592]

Im Hinblick auf Griechenland ist interessant, daß Verfolgungsaufgaben auch im byzantinischen Schrifttum dieser Zeit vertreten sind. Denn ,,bevor bei den Gelehrten in Byzanz arabische Einflüsse über Persien, Trapezunt und Sizilien wirksam wurden, standen die Unterrichtsanstalten dort ganz in hellenistischer Tradition.`` [10, S. 594] Laut Tropfke fehlen aber Bewegungsaufgaben bis zu dieser Zeit ,,merkwürdigerweise [...] in den griechischen Aufgabensammlungen, wo doch gerade in dem Land der olympischen Spiele, Probleme wie ,Achilles und die Schildkröte` diskutiert wurden.`` [10, S. 588/589] Ihr Vorhandensein in den byzantinischen Überlieferungen ist deshalb für Tropfke ein Beweis dafür, daß Bewegungsaufgaben zu dieser Zeit in Griechenland gelöst werden konnten, wenn sie auch in klassischen griechischen und hellenistischen Texten nicht vorkamen. [10, S. 594]

Mit dem zunehmenden arabischen Einfluß auf Byzanz (14./15. Jahrhundert) ging die Verfolgungsproblematik auf das restliche Abendland über. Verfolgungsfragestellungen kommen dort vom 14. Jahrhundert an in fast allen Rechenbüchern vor. Bis in die Mitte des 16. Jahrhunderts waren im Abendland ,,zwei Einkleidungen besonders beliebt: einmal das Problem vom ,Hund und dem Hasen` und dann die Aufgabe von einem Wanderer, der einem anderen nach Rom folgt.`` [10, S. 596] Sogar im heutigen Oberfranken werden wir in dieser Richtung fündig, so wird in einem Bamberger Rechenbuch von 1483 die ,,Regel vo haßen`` formuliert. [10, S. 595-597]

Auch Cardano stellte eine Aufgabe gemäß dem Hase-Hund-Motiv: ,,Der Hund macht in 20 Momenten 3 Sprünge, der Hase in 21 Momenten 5 Sprünge; dabei sind 7 Hasensprünge $+
\frac{1}{20}$ Hundesprung = 3 Sprünge des Hundes.`` [10, S. 597]

Vergleichen wir diese Aufgabenstellung mit früheren Verfolgungsaufgaben, so wird deutlich, daß sich unsere anfänglich an Alltagsproblemen ausgerichtete Verfolgungsproblematik im Zeitablauf zur Unterhaltungsmathematik entwickelt hat. Prompt folgten auch schon die ersten kritischen Stimmen bezüglich derartiger Aufgabenformulierung: ,,Stiefel [...] sagt: Solliche spötliche Exempla wöllen offt mehr wort haben denn die nutzliche.`` [10, S. 597]

Es sollte dann auch mehrere Jahrzehnte dauern, bis die Verfolgungsproblematik neue Denkanstöße erhielt. Diese kamen aus Frankreich von Claude Perrault:
,,Claude Perrault (1613-1688), ein vielseitig gebildeter Pariser Arzt, der als Musiker, als Mechaniker, als Architekt [...] bekannt ist, stellte vielen Mathematikern, zuletzt auch Leibniz, die von ihm selbst [...] nicht bewältigte Aufgabe, die Kurve zu finden, welche ein an dem Ende B eines Fadens AB befestigtes Gewicht beschreibt, während das andere Fadenende A längs einer geraden Linie hingeführt wird. Als Beispiel benutzte Perrault dabei seine silberne an einer Kette befestigt Taschenuhr, welche er in der vorgeschriebenen Art über den Tisch zog.`` [4, S. 214]

Applet: Perraults Taschenuhrproblem.

Auf den ersten Blick hat Perraults Taschenuhrproblem nichts mit einer Verfolgung zu tun. Bildhaft formuliert können wir aber sagen, daß die auf das Kettenende ausgerichtete Taschenuhr dieses unter Wahrung eines konstanten Abstandes verfolgt. Somit können wir eine Analogie zu einem Beschatter herstellen, der einer verdächtigten Person in einem der Situation angemessenen Abstand nacheilt. Im Jahre 1693, also erst nach Perraults Tod, löste Huygens als erster das Taschenuhrproblem und gab der erzeugten Kurve den Namen Tractoria (Zuglinie).

Perrault begründete mit dieser Aufgabenstellung eine neue Generation von Verfolgungsproblemen: Bisher hatten sich beide Akteure auf vorgegebenen Kurven bewegt, sei es, daß sie beide denselben Weg nahmen wie die beiden Wanderer oder sich auf den Seiten eines vorgegebenen Dreiecks fortbewegten wie der Pfau und die Schlange. Von nun an bestand die Verfolgungsproblematik im Finden der Gleichung der Kurve, die sich durch Vorgabe einer Fluchtlinie (bei Perrault die gerade Linie) und einer Verfolgungsstrategie (Ausrichtung auf das Ziel unter Wahrung eines konstanten Abstands) ergab. Diese Wende in der Bewegungsmathematik kam nicht von ungefähr, bedenken wir, daß Leibniz etwa zeitgleich die Infinitesimalrechnung begründet hatte.

Im Jahre 1732 formulierte Bouguer in den M$\acute{e}$moires de l'Acad$\acute{e}$mie Royale des Sciences ein Verfolgungsproblem, das sich nahtlos in die Fragestellung von Perrault einreihte. Bouguer wählte als Einkleidung ein auf ein Schiff zuhaltendes Piratenschiff. Kurzgefaßt lautete seine Fragestellung an die interessierte Öffentlichkeit:

 ,,Zwei Schiffe fahren mit konstanter Geschwindigkeit auf hoher See; das eine (P) hält immer Kurs auf das andere (Q), welches sich auf einer Geraden bewegt. Was für eine Kurve beschreibt das Verfolgerschiff? `` [9b, S. 53]

Applet: Bouguers Verfolgerschiff.

Bouguer wurde mit seinem Problem in der mathematisch orientierten Welt weitaus mehr Beachtung geschenkt als Perrault zuvor, weshalb seine Aufgabenstellung heute als das klassische Verfolgungsproblem bezeichnet werden darf. Im Gegensatz zu Perrault hatte Bouguer seine Fragestellung bereits selbst gelöst. Dennoch stieß die postwendende Lösung von Maupertuis auf großes Interesse, da dieser die Aufgabenstellung erweiterte: Er ließ beliebige Fluchtlinien zu, das heißt die Verfolgten flüchteten bei ihm nicht nur entlang Geraden, sondern beschrieben Kreise, Kegelschnitte oder andere vorgegebene Kurven. Bouguers Verfolgerkurve (ligne de poursuite) mußte folglich von nun an als Spezialfall der allgemeinen Verfolgerkurve nach Maupertuis angesehen werden. ,,So klein der Schritt zu dieser Verallgemeinerung sein mochte, so groß war (und bleibt) deren mathematische Herausforderung. Schon im einfachen Falle des Kreises als Fluchtlinie gelangt Loria zur Beschreibung der entsprechenden Verfolgungskurve auf eine Differentialgleichung zweiter Ordnung, die ,jedoch noch nicht integriert worden` [8, S. 610] ist.`` [9b, S. 64]

Bouguers Verfolgungsproblem geriet in Frankreich für ein knappes Jahrhundert in Vergessenheit, bis Dubois-Aym$\acute{e}$ in der Correspondance sur l'Ecole Polytechnique folgendes Stranderlebnis schilderte:

,,A dog was following his master on the sandy beach. On perceiving an acquaintance at some distance the master ran to reach him. His dog, being off to the side, ran after him, leaving the imprint of his path in the sand. When Dubois-Aym$\acute{e}$retraced his steps he was struck by the regularity of this curve, and searched for its equation.`` [2a, S. 133]

Diese aus dem wirklichen Leben gegriffene Einkleidung des Verfolgungsproblems gab Bouguers ligne de pursuite wohl letztendlich in Europa ihren populären Namen: In Frankreich hieß sie ab sofort courbe du chien, in Italien wurde sie unter dem Namen curva di caccia und in Deutschland unter Hundekurve weiterverbreitet. [2a, S. 134/135]

Peinlicherweise unterlief Dubois-Aym$\acute{e}$ bei der Lösung seines Hundekurvenproblems an einer Stelle ein Aussagefehler, den Thomas de Saint Laurent wenig später richtigstellte. Saint Laurent ging einige Jahre nach diesem Vorfall erneut in die Annalen der Verfolgungsmathematik ein: 1832 veröffentlichte er zusammen mit dem Genfer Ch. Sturm als erster die Lösung zu folgender Kanalaufgabe, in der wiederum ein Hund seinem Meister folgt:

,,Ein Hund, der an einem gegebenen Punkt am Ufer eines geradlinigen Kanals konstanter Breite lauert, springt ins Wasser, um seinen Meister einzuholen, der sich an einem bestimmten Punkt am anderen Ufer befindet und mit konstanter Geschwindigkeit dem Ufer entlang geht. Der Hund schwimmt mit stets gleicher Kraft auf seinen Herrn zu. Aber die Strömung des ihn mitziehenden Wassers lenkt ihn dauernd und gleichmäßig von der gewollten Richtung ab. Gefragt wird nach der Kurve, die der Hund bei diesen verschiedenen Bedingungen auf der Oberfläche des Wassers beschreibt.`` [1, S. 289, übersetzt aus dem Französischen von G. Schierscher]

Applet: Kanalaufgabe (Kurvenvergleich mit/ohne Strömung möglich).

Diese Kanalaufgabe wurde nur drei Monate nach ihrer Veröffentlichung von Querret auf Bouguers Verfolgungsproblem zurückgeführt, womit sich die Eigenschaft, Hundekurve zu sein, als translationsinvariant erwies. [9b, S. 63]

Da die mathematischen Grundlagen des Verfolgungsproblems nach Bouguer nun hergeleitet waren, verwundert es nicht, daß mit der Zeit verschiedene Spielarten der Hundekurve diskutiert wurden. Das wohl bekannteste Beispiel hierfür ist das Käferproblem. Die Reihe der Mathematiker, die sich mit dieser Aufgabenstellung beschäftigt haben, reicht von Brocard und Lucas (1877) mit Abelson und diSessa (1986) bis in die heutige Zeit. [9a, S. 36]

Für die schon in ihren Ursprüngen äußert praxisorientierte Verfolgungsproblematik finden sich noch heute zahlreiche Anwendungen, die nichts mit Unterhaltungsmathematik zu tun haben. Wie Bouguers Hundekurven hatten sich auch Perraults Zuglinien im Laufe der Zeit von der Geraden als alleinige Fluchtmöglichkeit gelöst. Schon Euler betrachtete die allgemeinen Traktrixkurven, die heutzutage ihre Anwendung beispielsweise im Straßenbau oder in der Fahrzeugtechnik erfahren: Sei es zur Berechnung von Fahrzeugausscherungen bei der Planung von Straßenführungen oder zur Entwicklung von Elektronischen Rückfahrsystemen (ERS) als Lenkhilfe für Fahrer von LKW's mit Anhängern. [9b, S. 75] Betrachten wir die beiden Applets im Anschluß, mag uns diese Praxis nicht verwundern.

Applet: Fahrradfahrt über den Marktplatz.

Applet: Rückwärtsfahren mit dem Gliederzug.
Aufgabe: die Zugmaschine (dunkelblau) muß die vier Anhänger
so rückwärtschauffieren,
daß der letzte (rote) eine Sinuskurve beschreibt.

Die Eigenschaft der Hundekurven, translationsinvariant zu sein, prädestiniert sie für eine Anwendung im Medium Luft. Der Seitenwind verursacht dort nämlich Translationen der Flugobjekte. Will man beispielsweise mit dem Flugzeug ein Funkfeuer geradlinig anfliegen, muß man das Abdriften durch den Seitenwind stets mit berücksichtigen. [9a, S. 65] Aufgrund der beiden Weltkriege erhielt die Verfolgungsproblematik in der Luft eine weitaus militärischere Bedeutung: ,,Aerodynamic Pursuit Curves for Overhead Attacks`` - der Titel einer Doktorarbeit von George H.Handelman aus dem Jahre 1949 - bedarf wohl keiner weiteren Erläuterung. [2b, S. 204]

Auch wurde seit dieser Zeit vermehrt Geld und Energie in die Entwicklung zielsuchender Geschosse gesteckt. Bouguers Verfolgungskurve erwies sich dabei jedoch als nicht praktikabel, da die Wendigkeit und Laufzeit des Verfolgers zu unflexibel gewesen wäre, so daß hier ,,Verfolgungskurven mit geeignetem geregelten Schielwinkel [...] neue Vorteile`` brachten. [5, S. 271]

Zweifellos wird die Theorie der Verfolgungskurven auch zukünftig in der Praxis zahlreich angewandt werden. Wieviel davon jedoch an die Öffentlichkeit gelangt, bleibt abzuwarten, denn bedenken wir stets:

,,Pursuit curves were conceived with piracy on the high seas and doubtless much of the recent research is classified as a military secret.`` [2b, S. 204]


next up previous contents
Next: Das Käferproblem Up: Verfolgungsprobleme Previous: Einleitung
Susanne Neuhaeusler
12/18/1997