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Formulierung des Käferproblems

Bei der Verfolgung gemäß dem Käferproblem handelt es sich um eine spielerische Variante von Bouguers Hundekurven. Während die Verfolgungsstrategie dieselbe bleibt (der Verfolger hält ständig auf sein Ziel zu), wird die klassische Rollenverteilung Ziel-Verfolgter hier aufgehoben: Jeder Verfolger ist zugleich auch Verfolgter und umgekehrt. Die exakte Aufgabenstellung lautet wie folgt:

 Ausgehend von den Ecken eines regulären n-Ecks verfolgen sich die n $(n \ge 3)$ mathematischen Käfer A1,A2,...,An (scarabaeus mathematicus) in zyklischer Reihenfolge. Dabei bewegen sich alle mit der gleichen konstanten Geschwindigkeit v vorwärts und orientieren ihre Bewegungsrichtung ständig neu, so daß diese immer auf ihren jeweiligen Vorderkäfer zeigt.

Vergleichbare Fangspiele von Kindern, die sich nicht entscheiden wollen, wer wen fängt, enden meist im gemeinsamen kreisförmigen Umrunden eines Tisches oder eines anderen sperrigen Gegenstandes. Dies läßt uns vermuten, daß auch unsere Käfer im Laufe der Verfolgung irgendwelche bogenförmige Kurven beschreiben. Im Applet können wir die gegenseitige Verfolgung der Käfer simulieren und mitverfolgen:

Applet: Käferbahnen mit Visierlinien
in Abhängigkeit von n (3 n 250).

Offensichtlich bewegen sich die Käfer auf spiralförmigen Bahnen, bis sie alle gleichzeitig im Mittelpunkt des Ausgangspolygons aufeinanderstoßen. Gab es von Anfang an keinen eindeutigen Verfolger, so geht am Ende keiner der Käfer eindeutig als Sieger hervor.

Der Form nach zu urteilen, handelt es sich bei den Bahnkurven der Käfer um logarithmische Spiralen mit dem Mittelpunkt des Ausgangspolygons als Pol. Diese Vermutung wollen wir natürlich nicht als solche im Raum stehen lassen. Wir werden die Verfolgung der Käfer im regulären n-Eck mathematisch durchleuchten, um uns Gewißheit über die Bahn der Käfer zu verschaffen. Neben der Art der Kurve werden wir auch die Frage nach deren Gleichung, ihrer Länge und eventuellen Teilungspunkten beantworten.


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Susanne Neuhaeusler
12/18/1997