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Die Gleichung der Käferbahn

 

Die Bahnkurve der Käfer ist eine logarithmische Spirale. Nun wollen wir deren exakte Gleichung herleiten. Sei dazu $\alpha (t)$ der Ortsvektor einer der n Käfer, wobei der Koordinatenursprung im Polygonzentrum liege. Ferner sei v(t) der zu $\alpha (t)$ gehörige Geschwindigkeitsvektor, so daß gilt:

\begin{displaymath}
\dot { \alpha }(t)= \frac{d}{dt} \alpha (t)=v(t) \end{displaymath}

und

\begin{displaymath}
\measuredangle (\alpha (t), \dot{\alpha}(t) )=\lambda_n. \end{displaymath}

Fassen wir unser Verfolgungskoordinatensystem als komplexe Zahlenebene auf, erhalten wir ohne Einschränkung (gegebenenfalls durch eine geeignete Parametertransformation):

 
 \begin{displaymath}
\dot{\alpha}(t)=\alpha(t)\cdot e^{i\lambda _n}.\end{displaymath} (2)

Durch Komponententrennung ergibt sich daraus mit
$ \alpha
(t)=(r(t) \cdot \cos \varphi (t),r(t) \cdot \sin \varphi (t))$:

\begin{displaymath}
\begin{array}
{c}
\cos \varphi \cdot ( \dot{r}-r \cdot
\cos ...
 ...os \varphi \cdot( \dot{\varphi }- \sin \lambda _n)=0\end{array}\end{displaymath}

Wegen $r \not \equiv 0, \; \varphi \not \equiv 0,
\frac{\pi}{2}$ und $ \cos ^2 \varphi \not \equiv \sin ^2 \varphi $ gilt ferner:

 
 \begin{displaymath}
\dot{r}=r \cdot \cos \lambda _n \; , \;
\dot{\varphi}= \sin \lambda _n \; .\end{displaymath} (3)

Bezeichnet R den Umkreisradius des Startpolygons und $\varphi _0$den Startwinkel, erhalten wir mit der Anfangsbedingung $\alpha
(0)=(R \cdot \cos \varphi _0, R \cdot \sin \varphi _0)$ nach Integration dieser Differentialgleichungen (3):

\begin{displaymath}
r(t)=R \cdot e^{t \cdot \cos \lambda _n} , \; \varphi (t)=t \cdot \sin \lambda _n + \varphi _0.\end{displaymath}

Mit $\sin \lambda _n= \cos \frac{\pi}{n}$, $\cos \lambda _n= - \sin
\frac{\pi}{n}$ ) ergibt sich deshalb aus (2) folgende vorläufige Parameterdarstellung der Käferbahn:

 
 \begin{displaymath}
 \alpha (t) = R \cdot e^{-t \cdot \sin \frac{\pi}{n}} \cdot
...
 ...n ( t \cdot \cos \frac{\pi}{n}+\varphi _0) \end{array} \right).\end{displaymath} (4)

Diese Darstellung der Käferbahn ist deshalb vorläufig, da noch die Voraussetzung der über die Verfolgung hinweg konstanten Geschwindigkeit v erfüllt werden muß. Bisher gilt nämlich:

\begin{displaymath}
\vert v(t)\vert = \vert \dot{\alpha} (t)\vert=R \cdot e^{-t \cdot \sin \frac{\pi}{n}},\end{displaymath}

das heißt die Käfer bewegen sich im Laufe der Verfolgung mit stets abnehmender Geschwindigkeit auf das Polygonzentrum zu.

Die Einführung des Parameters $s:=e^{-t \cdot \sin \frac{\pi}{n}}$liefert uns jedoch sofort die gewünschte Lösung unseres Käferproblems:

 
 \begin{displaymath}
 \alpha (s)= R \cdot s \cdot \left( \begin{array}
{c} \cos (...
 ...n} \cdot \ln s+ \varphi_0) \end{array} \right), \; s \in ]0,1],\end{displaymath} (5)
denn nun gilt wirklich, daß die Geschwindigkeit v konstant ist:

 
 \begin{displaymath}
 \vert v(s)\vert= \left\vert \frac{d}{ds} \alpha(s) \right\v...
 ...c{dt}{ds} \right\vert=
 \frac{R}{ \sin \frac{\pi}{n}}=konstant.\end{displaymath} (6)


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Susanne Neuhaeusler
12/18/1997