Universität Bayreuth

Seminar: Klassische Probleme der Antike (SS 1997)

Regina Bruischütz (LA RS M/Ch)

26. Mai 1997

 

Winkeldreiteilung - Konstruktion mit zusätzlichen Hilfsmitteln

(Teil A)

 

 

1. Trisectix des Hippias von Elis (ca. 420 v. Chr.)

 

Seit der Antike haben Kurven eine besondere Bedeutung für die Analysis und die darstellende Geometrie. Die vermutlich erste Kurve (neben Kreis und Gerade) stammt von Hippias aus Elis (ca. 420 v. Chr.) und ist unter dem Namen Trisectrix bzw. Quadrix des Hippias bekannt. Hippias verwendete für die Beschreibung der Kurve folgende kinematische Definition:

Im Quadrat ABCD werde die Strecke parallel zu sich mit konstanter Geschwindigkeit bis zur Lage AB verschoben und AD rotiere um A mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ebenfalls bis zur Lage AB. Beide Bewegungen starten gleichzeitig und hören gleichzeitig auf. Der geometrische Ort der Schnittpunkte ist die zu definierende Trisectrix (Abb. 1).

Dabei gilt für beliebige Punkte E und F: , wobei und die zugehörigen Drehwinkel mit festem Schenkel darstellen sollen.

 

Abb. 1

Darstellung der Punkte P (x,y) auf der Trisectrix (mit zugehörigem Winkel ):

Es sei A der Mittelpunkt eines Einheitskreises, auf dem die Punkte B und D liegen,

d. h.

Außerdem stelle AB die x- und AD die y-Achse dar.

außerdem gilt:

 

Abb. 2

 

Beschreibung der Winkeldreiteilung mit Hilfe der Trisectrix (Abb. 2):

Es sei der zu teilende Winkel und D der Schnittpunkt der Trisectrix mit dem Winkelschenkel AC. A1B1 ist die Parallele durch D zu AB. Außerdem liefert das Lot von D auf AB den Punkt E. Die Strecke wird gedrittelt (Strahlensatz), wobei der Punkt D1 entsteht. Zeichne die Parallele A2B2 zu AB durch D1. Der Schnittpunkt der Trisectrix mit A2B2 liefert C1.

Aus der Definition der Trisectrix folgt:

 

2. Winkeldreiteilung mit Hilfe der Archimedischen Spirale

 

kinematische Definition der Archimedischen Spirale:

Auf einem mit konstanter Winkelgeschwindigkeit rotierendem Zentralstrahl bewegt sich mit konstanter Radialgeschwindigkeit ein Punkt vom Zentrum nach außen (in Polarkoordinaten:).

 

Beschreibung der Winkeldreiteilung mit Hilfe der Archimedischen Spirale (Abb. 3):

Es sei der zu teilende Winkel und P ist der Schnittpunkt der Archimedischen Spirale mit dem Winkelschenkel OB. Drittele den Winkelschenkel durch P1 (Strahlensatz) und zeichne einen Kreis mit Radius um O. Als Schnittpunkt des Kreises mit der Archimedischen Spirale ergibt sich S1.

Aus der Definition der Archimedischen Spirale folgt,

da (vgl. Polarkoordinaten oben).

 

 

 

 

 

Abb. 3

 

 

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