3. Eine weitere Möglichkeit der Winkeldreiteilung nach Archimedes (ca. 260 v. Chr.)

 

In seinem Werk Lemmata (Liber Assumptorum) formuliert Archimedes Satz 8 folgendermaßen:

Verlängere eine Sehne eines beliebigen Kreises um eine Strecke gleich dem Radius und ziehe durch C den Durchmesser FDE. Dann ist (vgl. Abb. 4)

Beweis: (Außenwinkel = Summe der nicht anliegenden Innenwinkel)

(gleichschenklige Dreiecke)

(Außenwinkel = Summe der nicht anliegenden Innenwinkel)

 

Beschreibung der Dreiteilung eines Winkel mit Hilfe dieses Satzes (Abb. 4)

Es sei der zu teilende Winkel. Ziehe den Durchmesser und lege die Strecke gleich dem Radius r so an, daß die Verlängerung von durch A geht (z. B. mit Hilfe eines Lineals, auf dem zwei Striche im Abstand r markiert sind).

Anmerkung: In Teil B wird dieses Problem mit Hilfe einer Konchoide (s. Kap. 4) an den Kreis gelöst.

nach obigem Satz gilt:

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Winkeldreiteilung mit Hilfe von Konchoiden

 

4. 1. Definition Konchoide

 

Es sei c eine gegebene Kurve und O ein fester Punkt auf dem Radiusvektor OP von O nach P. Man markiere auf c eine Strecke (k ist eine Konstante). Dann ist die Menge aller Punkte die Q durchläuft, die Konchoide von c mit dem Pol O mit der Konstanten k. Diese Kurve hat zwei Äste, einen für +k und einen für -k.

 

4. 2. Die Konchoide des Nikomedes (ca. 225 v. Chr.)

 

Die Geradenkonchoide des Nikomedes (Abb. 5), auch Kochloide genannt, erhält man aus der allgemeinen Konchoide, wenn man für c eine Gerade und für O einen Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, wählt.

 

Beschreibung der Geradenkonchoide des Nikomedes:

CE stehe senkrecht auf AB, wobei D den Schnittpunkt darstellt. Nun drehe sich die Gerade CE um E, so daß D ständig auf AB bleibt und seine Länge beibehält. Dann beschreibt C eine Kurve mit folgender Eigenschaft: Wenn von E eine Gerade FE zu der Kurve gezogen wird und G den Schnittpunkt von AB mit FE darstellt, so ist stets. E heißt Pol, AB das Lineal und der Abstand der Konchoide. AB ist Kurvenasymptote.

 

Die Kochloide ermöglicht die von den Griechen oft verwendete "Neusis"-Konstruktion. Dabei versteht man unter "Neusis"-Konstruktion, daß eine Strecke bestimmter Länge so zwischen zwei Linien gelegt wird, daß die Verlängerung der Strecke durch einen bestimmten Punkt geht. Konkret heißt dies für zwei gegebene Geraden AB und AH und einen Punkt E außerhalb des Winkels, daß es stets möglich ist, eine Strecke gegebener Länge so zu konstruieren, daß H auf der Geraden AH und K auf AB liegt. Außerdem geht die Verlängerung von durch E.

 

 

Abb. 5

 

 

4. 3. Winkeldreiteilung mit Hilfe der Konchoide des Nikomedes

 

Beschreibung der Winkeldreiteilung (Abb.6):


O. B. d. A. sei ein spitzer Winkel gegeben (o. E stehe AB senkrecht auf AC). Fälle das Lot von C auf BA und ergänze zum Rechteck BFCA. Verlängere die Strecke über C hinaus. Es bewege sich ein Strahl um B, der AC in D und die Verlängerung FC in E schneidet, wobei

("Neusis"-Konstruktion mit Kochloide: Pol = B, Lineal = AC, Abstand:).

Zeichne CG, wobei G der Mittelpunkt von sei.

(nach Voraussetzung und wegen Thaleskreis über)

Es ist

(gleichschenklige Dreiecke)

(Außenwinkel = Summe der nicht anliegenden Innenwinkel)

(gleichschenklige Dreiecke)

(Z-Winkel)

 

 

Darstellung der Punkte P (x,y) auf dieser Konchoide :

Es sei (d. h. der Abstand zwischen Pol und Lineal) und

Es ist der Abstand eines Punktes P der Konchoide von B. Sei nun BF die x- und AB die y-Achse. daraus ergibt sich:

und

insgesamt:

 

Abb. 6

 

 

 

 

Vorherige Seite Nächste Seite