2. Entstehung des Satzes 3. Der Satz des Pythagoras 4. Verallgemeinerung

Der pythagoreische Lehrsatz

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Bei jedem rechtwinkligen Dreieck ist der Flächeninhalt des

Quadrates H über der Hypotenuse c

gleich der Summe des

Quadrates Ka über der Kathete a

und des

Quadrates Kb über den Kathete b.


c2 = a2 + b2


Dokumentation zu GEONET


Beweis des pythagoreischen Lehrsatzes :

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In das
Quadrat über der Hypotenuse c
lassen sich vier Dreiecke,
die zu dem Dreieck ABC kongruent bzw. identisch sind, einpassen.
Dabei umschließen die vier Dreiecke ein Quadrat der Seitenlänge (a - b)
[CT] = [CB] - [TB] =
  = a - b #
Also gilt:
c2 = (a-b)2 + 4*0,5*(ab) =
= a2 - 2ab + b2 + 2ab =
= a2 + b2 #














(Der Punkt C läßt sich mit dem Mauszeiger bei gedrückter linken Maustaste auf dem Thaleskreis über [AB] bewegen. )

Dies ist nur einer von rund 400 existierenden Beweisen.


Der Kehrsatz zum pythagoreischen Lehrsatz

Gilt in einem Dreieck ABC mit den Seiten a = [BC], b = [AC], c = [AB] die Beziehung
c2 = a2 + b2 ,
so ist das Dreieck ABC ein rechtwinkliges Dreieck mit [AB] als Hypotenuse.

Beweis :

Sei A'B'C' ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel bei C', für dessen Katheten [A'C'] und [B'C'] gilt :
1) Länge von [A'C'] = a' = Länge von [AC] = a
2) Länge von [B'C'] = b' = Länge von [BC] = b
Da das Dreieck A'B'C' rechtwinklig ist gilt der Satz des Pythagoras und somit gilt für [A'B'] = c'
c'2 = a'2 + b'2
mit 1) und 2) folgt dann :
c'2 = a2 + b2 = c2
Daraus folgt :
c' = c

Das bedeutet die beiden Dreiecke ABC und A'B'C' stimmen in allen drei Seiten überein (SSS-Satz).
Beide Dreiecke sind also kongruent und stimmen auch in den Winkeln überein.
Daraus folgt, daß auch das Dreieck ABC rechtwinklig ist mit der Hypotenuse [AB]. #


1. Biografie des Pythagoras 2. Entstehung des Satzes 4. Verallgemeinerung

5. Übungen 6. Eine Anwendung aus dem "Alltag" 7. Literatur und nützliche Links

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