Das Üben im Mathematikunterricht

 

Betrachten wir einmal die noch immer gebräuchlichste Übungssituation:
Für das Umformen von Termen und Gleichungen werden einige (meist verbal formulierte) Regeln bereitgestellt. Die Umformtätigkeit wird dann an einer horrenden Zahl von Übungsaufgaben eingeübt.
Man kann die zugrundeliegende Lernauffassung als Übungsideologie bezeichnen. Sie besteht in der Annahme, dass man das Umformen von Termen und Gleichungen allein durch stures Üben anhand einer großen Anzahl von Übungsaufgaben erlernen kann.
Im Laufe der Jahre ist die Anzahl der Übungsaufgaben zum Umformen in den Lehrbüchern stets zurückgegangen.
In der Unterrichtspraxis hat sich die Übungsideologie jedoch hartnäckig erhalten.
Denn wie wird beim Üben vorgegangen ?
Sofern der Schüler alles richtig macht, wird er vom Lehrer in irgendeiner Weise "belohnt" (oder zumindest in Ruhe gelassen), wenn er Fehler macht, wird er in irgendeiner Weise "bestraft". Man erhofft sich durch ein solches Vorgehen, dass erwünschte Verhaltensweisen verstärkt und unerwünschte ausgelöscht werden.
Der Schüler soll also durch Konditionierung lernen.
Kann sowas funktionieren ?

"In der Tat bemerkte fast jeder Lehrer nach einer gewissen Zeit, dass die Übungsideologie relativ wirkungslos ist. Ich erinnere mich an zahlreiche Klagen von Lehrern, die nicht verstehen konnten, warum ihre Schüler trotz "hunderter" Übungsaufgaben immer noch Fehler beim Termumformen oder Gleichungslösen machen. Manche Lehrer waren recht verzweifelt und suchten letztlich die Schuld bei den Schülern. Auf die Idee, dass das sture Üben selbst eine Ursache der Misserfolge sein könnte, kam eigentlich kaum einer. Es wird meist nämlich nicht bemerkt, dass das sture Üben auf die eigentlichen Fehlerursachen nicht explizit eingeht, dem Schüler somit wenig konstruktive Hilfen bietet, ja sogar falsche Denkweisen zementieren kann. Deshalb ist auch die Bereitschaft, von der Übungsideologie abzugehen, im allgemeinen gering, obwohl die Misserfolge gesehen werden. Vielfach werden die Misserfolge so umgedeutet, dass man noch zu wenig geübt hätte. Es werden weitere Übungsaufgaben gestellt - und damit wird die Sache oft noch schlimmer gemacht."

(aus Malle,G. , Didaktische Probleme der elementaren Algebra, 1993, S.22/23)

Das Üben verläuft grossteils unreflektiert. Es wird zuwenig Rücksicht auf das genommen, was in späteren Schul- oder Studienjahren gebraucht wird, bzw. Schwierigkeiten bereitet. Dafür wird vieles geübt, was später mit ziemlicher Sicherheit nicht mehr gebraucht wird.
Kurz: Es werden die falschen Dinge geübt.
In der Schule werden zudem oft komplexe Beispiele geübt anstatt auf einfache mehr Wert zu legen um die Grundlagen einzuüben.
Lehrer verteidigen die Komplexität ihrer Übungsaufgaben oft mit dem Argument, dass mas Kompliziertes Üben müsse, um Einfaches zu beherrschen. Was dabei aber übersehen wird ist, dass Komplexität eigene Probleme mit sich bringt, die beim Einfachen praktisch keine Rolle spielen, wie etwa: Diese Probleme dominieren oft so stark, dass das eigentliche Ziel, nämlich das bewusste Anwenden von Umformungsregeln aus den Augen verloren wird.

Bis jetzt wurde eine eher negative Form des Übens aufgezeigt.
Möglichkeiten diese Übungszeit sinnvoll einzusetzen sind:

"operatives Üben"
Operatives Üben dient nicht dem Einschleifen von Regeln, sondern eher dem Erwerb von Wissensnetzen und Fähigkeiten, also dem Denken im Erkennen von Zusammenhängen und dem Anwenden von Gesetzmässigkeiten.
Kennzeichnend für die operative Übung ist die Suche nach verschiedenen Lösungswegen und Kontrollen, die Umkehrung der Fragestellung sowie die Variation aller in die Rechnung eingehender Grössen. Bei Aufgaben bedeutet dies u.a. das Herstellen, Erkennen und Anwenden von Beziehungen, Abhängigkeiten und Zusammenhänge durch:
Beispielaufgabe: (ab 6. Schuljahr)
Der monatlichen Stromrechnung z.B. liegt vereinfacht folgende Struktur zugrunde
Grundgebühr
Kosten des Stroms
25 DM
0,25 DM
Rechnungsbetrag = Grundgebühr + Kosten des Stroms
= Grundgebühr + Anzahl verbrauchter kWh x Gebühr pro kWh
R = G + S
= G + n x E

Bei einem "Verbrauch von 100 kWh ist also der Rechnungsbetrag R = 25 DM + 100 x 0,25 DM = 50 DM.

Variationen:

Auch die Grundgebühr und die Kosten pro kWh sind keine Naturkonstanten.
"problemorientiertes Üben"
Übungen und Wiederholungen werden hierbei im Umkreis von Problemen, von über-geordneten Fragestellungen angesiedelt.

Beispielaufgabe: (Ende des 1. Schuljahres)
Übungsaufgabe zur Addition
Wir wollen vom Haus zum Wasser. Wir dürfen nur auf den Einbahnstraßen fahren, auf denen jeweils ein Fahrpreis angegeben ist.

Mögliche Fragestellungen:

Hier sind die Schüler motiviert viele Additionen auszuführen und damit die Geläufigkeit zu schulen.
Die Aufgabe kann ohne Probleme an andere Klassenstufen angepasst werden:
z.B. durch die Verwendung von Beispielaufgabe: (ab 7. Schuljahr)
Übung zur Prozentrechnung
Die Monatslöhne einer Berufsgruppe sollen angehoben werden, und zwar um einen gewissen Prozentsatz des bisherigen und dann außerdem noch um einen festen Betrag, der auf die prozentuale Erhöhung noch aufgeschlagen werden soll. Über beides wird noch gestritten.
Welcher dieser Vorschläge ist für jemanden am günstigsten, der bisher 1600 DM (1100 DM, 1200 DM, ..., 2000 DM) verdiente ?

Vorschlag 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
%-Satz 5,7% 5,6% 5,4% 5,1% 4,7% 4,2% 3,6% 2,9% 2,1% 2,0%
Festbetrag 68 DM 70 DM 73 DM 77 DM 82 DM 88 DM 95 DM 103 DM 112 DM 120 DM

Zur Entscheidung muss der Schüler schon die Angebote rechnerisch durchmustern.

5,7% von 1600 DM + 68 DM = 0,057 x 1600 DM + 68 DM = 159,20 DM
5,6% von 1600 DM + 70 DM = 0,056 x 1600 DM + 70 DM = 159,60 DM
5,4% von 1600 DM + 73 DM = 0,054 x 1600 DM + 73 DM = 159,40 DM
5,1% von 1600 DM + 77 DM = 0,051 x 1600 DM + 77 DM = 158,60 DM
4,7% von 1600 DM + 82 DM = 0,047 x 1600 DM + 82 DM = 157,20 DM
4,2% von 1600 DM + 88 DM = 0,042 x 1600 DM + 88 DM = 155,20 DM
3,6% von 1600 DM + 95 DM = 0,036 x 1600 DM + 95 DM = 152,60 DM
2,9% von 1600 DM + 103 DM = 0,029 x 1600 DM + 103 DM = 149,40 DM
2,1% von 1600 DM + 112 DM = 0,021 x 1600 DM + 112 DM = 145,60 DM
2,0% von 1600 DM + 120 DM = 0,020 x 1600 DM + 120 DM = 152 DM

Am besten ist also Angebot Nr. 2.
Ist es aber auch das Beste für andere bisherige Einkommen ?

"produktives Üben"
Produktives Üben bedeutet das Wiederholen von Handlungen zum Herstellen von Gegenständen (Figuren, Zahlen, Termen u.a.), wobei die Geläufigkeit des zu übenden Schemas geschult wird.

Beispiel:
Ausgangspunkt ist ein beliebiges Dreieck.
Zeichne dass Seitenmittendreieck (Konstruktion mit Zirkel und Lineal).
Es entsteht eine Schar ineinandergeschachtelter Dreiecke die sich offenbar auf einen Punkt zusammenziehen. Auf welchen ?


"anwendungsorientiertes Üben"
Für das Lernen ist es wichtig, eine Beziehung zur Lebenspraxis der Schüler wachzuhalten. Die lebendige Realität ist für die Motivation der Schüler unheimlich wichtig.

Beispielaufgabe:
Welt des Geldes

u.a.

Beispielaufgabe: (ab 6. Schuljahr)
Oberflächen- und Volumenberechnung des Würfels
Wir gehen von Zerkleinerungsprozessen des Alltags aus: Kaffeebohnen werden zu Kaffeepulver gemahlen; Zwiebeln, Kartoffeln, ... werden in der Küche kleingeschnitten usw. Warum macht man sich diese Arbeit, warum kann man nicht z.B. Kaffee aus ganzen Bohnen brühen ?
Um das zu verstehen simulieren wir Zerkleinerungsprozesse in einer ganz einfachen Form: Wir zerlegen Würfel in Teilwürfel und beobachten Oberflächeninhalt und Volumen und vor allem ihr Verhältnis zueinander. Wir starten mit einem 1 Liter Würfel (V=1dm³, O=6dm²) und zerlegen ihn durch ebene Schnitte parallel zu den Deckflächen in kleinere Würfel. Durch 3 Schnitte ergeben sich 8 Würfel von je 0,125 Liter Volumen und 1,5 dm² Oberflächeninhalt.

Die Gesamtoberfläche aller 8 Würfel ist 8 x 1,5dm² = 12dm², ist also doppelt so groß wie die des ursprünglichen Würfels.

Zugehörige Tabelle:

Anzahl Schnitte 3 6 27
Volumen der Teilwürfel
Oberflächeninhalt der Teilwürfel
Gesamtoberfläche aller Teilwürfel
Volumen zu Oberfläche 1:12 1:18 1:60

Zum Verständnis sind zwei Dinge wichtig:

  1. Durch Zerkleinern können wir bei Erhaltung des Gesamtvolumens jede beliebig große Gesamtoberfläche gewinnen. Das Kaffeewasser berührt im Kaffeepulver eine riesig große Kaffeoberfläche.
  2. Je kleiner ein Würfel (Körper) ist, um so größer ist relativ zum Volumen seine Oberfläche. Deshalb können sehr kleine Dinge sogar in der Luft schweben: Pollen, Staub, ...
Grundsätze und Prinzipien für erfolgreiches Üben
Um beim Üben möglichst erfolgreich zu sein, ist die Beachtung verschiedener Grundsätze oder Prinzipien hilfreich.
Hier einige Anregungen:

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