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Johann Bernoulli und das Brachistochronenproblem

Peter Baptist
Bayreuth

In der in Leipzig erschienenen Zeitschrift Acta Eruditorum (gegründet 1682) veröffentlichte im Juni 1696 Johann BERNOULLI (1667 - 1748), zu dieser Zeit Professor der Mathematik und Medizin in Groningen (seit Oktober 1695) eine Einladung zur Lösung eines neuen Problems.

``Wenn in einer verticalen Ebene zwei Punkte A und B gegeben sind, soll man dem beweglichen Punkte M eine Bahn AMB anweisen, auf welcher er von A ausgehend vermöge seiner eigenen Schwere in kürzester Zeit nach B gelangt.''

Im Anschluß an die Aufgabenstellung schrieb er weiter:

``Damit Liebhaber solcher Dinge Lust bekommen sich an die Lösung dieses Problems zu wagen, mögen sie wissen, dass es nicht, wie es scheinen könnte, blosse Speculation ist und keinen praktischen Nutzen hat. Vielmehr erweist es sich sogar, was man kaum glauben sollte, auch für andere Wissenszweige, als die Mechanik, sehr nützlich. Um einem voreiligen Urtheile entgegenzutreten, möge noch bemerkt werden, dass die gerade Linie AB zwar die kürzeste zwischen A und B ist, jedoch nicht in kürzester Zeit durchlaufen wird. Wohl aber ist die Curve AMB eine den Geometern sehr bekannte; die ich angeben werde, wenn sie nach Verlauf dieses Jahres kein anderer genannt hat.''

Innerhalb dieser Frist antwortete nur Gottfried Wilhelm LEIBNIZ (1646 - 1716), und zwar postwendend im wahrsten Sinne des Wortes. Johann BERNOULLI schickte LEIBNIZ privat am 9. Juni 1696 die Aufgabenstellung nach Hannover, der Antwortbrief mit der Lösung trägt das Datum 16. Juni 1696! Das Problem lockte ihn - wie er selbst schreibt - durch seine Schönheit, wie der Apfel die Eva. Er gab in diesem Brief Johann BERNOULLI auch den Rat, die Abgabefrist bis Ostern 1697 zu verlängern, da die Leipziger Acta Eruditorum im Ausland, insbesondere in Frankreich und Italien, nur verspätet zur Kenntis genommen werden kann.

Im Januar 1697 veröffentlichte daraufhin Johann BERNOULLI in Groningen eine Ankündigung, die mit folgenden Worten beginnt:

``Die scharfsinnigsten Mathematiker des ganzen Erdkreises grüsst Johann Bernoulli, öffentlicher Professor der Mathematik.
Da die Erfahrung zeigt, dass edle Geister zur Arbeit an der Vermehrung des Wissens durch nichts mehr angetrieben werden, als wenn man ihnen schwierige und zugleich nützliche Aufgaben vorlegt, durch deren Lösung sie einen berühmten Namen erlangen und sich bei der Nachwelt ein ewiges Denkmal setzen, so hoffte ich den Dank der mathematischen Welt zu verdienen, wenn ich nach dem Beispiele von Männern wie Mersenne, Pascal, Fermat, Viviani und anderen, welche vor mir dasselbe thaten, den ausgezeichnetsten Analysten dieser Zeit eine Aufgabe vorlegte, damit sie daran, wie an einem Prüfsteine, die Güte ihrer Methoden beurtheilen, ihre Kräfte erproben und, wenn sie etwas fänden, mir mittheilen könnten; dann würde einem jeden öffentlich sein verdientes Lob von mir zu Theil geworden sein.''

Dann wiederholt er, in etwas abgeänderter Form, die Aufgabenstellung.

Mechanisch-geometrisches Problem über die Linie des schnellsten Falles.
``Zwei gegebene Punkte, welche verschiedenen Abstand vom Erdboden haben und nicht senkrecht übereinander liegen, sollen durch eine Curve verbunden werden, auf welcher ein beweglicher Körper vom oberen Punkte ausgehend vermöge seiner eigenen Schwere in kürzester Zeit zum unteren Punkte gelangt.''

Damit keine Zweifel aufkommen, fügt er noch erläuternde Bemerkungen hinzu:

``Der Sinn der Aufgabe ist der: unter den unendlich vielen Curven, welche die beiden Punkte verbinden, soll diejenige ausgewählt werden, längs welcher, wenn sie durch eine entsprechend gekrümmte sehr dünne Röhre ersetzt wird, ein hineingelegtes und freigelassenes Kügelchen seinen Weg von einem zum anderen Punkte in kürzester Zeit durchmisst.
Um aber jede Zweideutigkeit auszuschliessen, sei ausdrücklich bemerkt, dass ich hier Galilei's Hypothese annehme, an deren Wahrheit, wenn man vom Widerstande absieht, kein verständiger Geometer mehr zweifelt, dass nämlich die Geschwindigkeiten, welche ein fallender Körper erlangt, sich wie die Quadratwurzeln der durchmessenen Höhen verhalten. Unser Verfahren für die Lösung ist freilich allgemein und findet auch für jede andere Hypothese Anwendung.''

An diese Ergänzungen schließt sich ein vollmundiger Appell an die Geometer an, daß sie sich der Herausforderung dieser Aufgabe stellen sollen.

``Da nunmehr keine Unklarheit übrig bleibt, bitten wir alle Geometer dieser Zeit insgesammt inständig, dass sie sich fertig machen, dass sie daran gehen, dass sie alles in Bewegung setzen, was sie in dem letzten Schlupfwinkel ihrer Methoden verborgen halten. Wer es vermag, reisse den Preis an sich, den wir dem Löser bereit gestellt haben. Freilich ist dieser nicht von Gold oder Silber, denn das reizt nur niedrige und käufliche Seelen, von denen wir nichts löbliches, nichts nützliches für die Wissenschaft erwarten. Vielmehr, da Tugend sich selbst der schönste Lohn ist und Ruhm ein gewaltiger Stachel, bieten wir als Preis, wie er einem edlen Manne zukommt, Ehre, Lob und Beifall, durch die wir den Scharfsinn dieses grossen Apollo öffentlich und privatim, in Schrift und Wort, preisen, rühmen und feiern werden.
Wenn aber das Osterfest vorübergegangen ist und Niemand unsere Aufgabe gelöst hat, dann werden wir unsere Lösung der Welt nicht vorenthalten, dann wird der unvergleichliche Leibniz seine und unsere Lösung, die wir ihm schon längst anvertraut haben, sofort, wie ich hoffe, ans Licht gelangen lassen.''

Diesem zweiten Aufruf zur Lösung der Aufgabe war nun eine größere Resonanz beschieden. Im Maiheft des Jahres 1697 der Acta Eruditorum wurde die Lösung Johann BERNOULLIs publiziert, ebenso diejenige seines älteren Bruders Jakob BERNOULLI (1654 - 1705). LEIBNIZ selbst fügte noch eine kurze Note an, in der er u.a. erklärte, daß auch er eine Lösung gefunden habe, die aber denen der Brüder BERNOULLI ähnlich war und daher keiner Veröffentlichung bedarf. Weiterhin bemerkte er, daß HUYGENS wenn er noch am Leben wäre (gestorben 1695), und NEWTON, wenn er sich die Mühe gemacht hätte, das Problem ebenfalls gelöst hätten. NEWTON befaßte sich tatsächlich mit der Aufgabe. In der Januar Ausgabe der Philosophical Transactions des Jahres 1697 erschien ohne Autorenangabe eine Lösung, die dann in den Acta Eruditorum nochmals abgedruckt wurde. Johann BERNOULLI identifizierte den anonymen Verfasser mit den Worten ``ex ungue leonem'' (den Löwen von der Pranke her) als Isaac NEWTON. Die Methode hat also den Autor verraten. Das Maiheft der Acta Eruditorum enthielt ferner noch Lösungen des Marquis de l'HfOPITAL (1661 - 1704) und des Ehrenfried Walter Graf von TSCHIRNHAUSEN (1651 - 1708).

Am Anfang steht Galileo Galilei

In seiner 1638 in Leiden erschienenen Abhandlung Unterredungen und mathematische Demonstrationen über zwei neue Wissenszweige, die Mechanik und die Fallgesetze betreffend behandelte Galileo GALILEI (1546 - 1642) vermutlich als erster diese Aufgabe. Seine Überlegungen zur Lösung sind allerdings fehlerhaft. Er stellt zunächst richtig fest, daß die kürzeste Verbindung, die Strecke [AB], nicht die gesuchte Lösung ist. Seine optimale Kurve ist aber ein Kreisbogen durch die Punkte A und B. Kreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Strecke [AB] mit der Horizontalen durch A.

GALILEI gibt dazu folgende Begründung. Er zeigt, daß ein Körper für die Bewegung längs eines Polygonzugs von A nach B eine kürzere Zeit benötigt als für den Durchlauf der Strecke [AB]. Bei Vergrößerung der Eckenzahl (d.h. Verkürzung der einzelnen Sehnen) verringert sich die Durchlaufzeit. D.h. je mehr sich der Polygonzug dem Kreisbogen nähert, desto kürzer ist die Zeit. Daher ist für GALILEI der Kreisbogen die optimale Kurve.

Die Lösung Johann Bernoullis

Johann BERNOULLIs besondere Fähigkeit war es, rein analytische Probleme mit Methoden anzugehen, die er aus der Geometrie und der Physik kannte. Auf diese Weise erzielte er bedeutende Resultate, die allerdings nicht immer verallgemeinerungsfähig waren. Das Brachistochronenproblem ist ein solches Beispiel. Johann BERNOULLIs geistiger Mentor war das 1690 in Leiden erschienene Buch Traité de la Lumière von Christian HUYGENS (1629 - 1695). Dieser stellte darin u.a. die Theorie auf, daß das Licht als Wellenbewegung zu deuten sei. Probleme der Lichtbrechung werden behandelt, das Fermatsche Prinzip (Ein `Lichtkörperchen' bewegt sich so, daß die benötigte Laufzeit minimal ist) kommt zur Anwendung. Johann BERNOULLI, zu dieser Zeit Professor in Groningen, hatte natürlich dieses neue Buch in Händen. Sofort wird er erkannt haben, daß seine Aufgabenstellung mit den Huygens'schen Brechungsproblemen zusammenhängt, und die Lösung mit den dort angestellten Überlegungen erfolgen kann. Aber vielleicht hatte der Traité de la Lumière sogar noch eine wesentlich größere Bedeutung für das Brachistochronenproblem. Es ist nämlich auch denkbar, daß bei dessen Lektüre Johann BERNOULLI überhaupt erst die Idee zu seiner Aufgabe gekommen ist.

Die Namensgebung dieser Aufgabe wurde zwischen Johann BERNOULLI und LEIBNIZ in einem Briefwechsel vom Juli 1696 diskutiert. Johann gab der gesuchten Kurve den Namen Brachistochrone (zusammengesetzt aus: brachistos = kürzest und chronos = Zeit), LEIBNIZ schlug dagegen Tachystoptote (zusammengesetzt aus: tachystos = schnellster und piptein = fallen) vor. Johann war bereit, den Namen zu ändern, LEIBNIZ bestand aber nicht darauf.

Bei seiner Lösung betrachtet Johann BERNOULLI gleichzeitig die optische und die dazu äquivalente mechanische Problemstellung. Seine Überlegungen beginnt er folgendermaßen:

``Jetzt wollen wir uns ein Medium denken, welches nicht gleichmässig dicht ist, sondern von lauter parallelen horizontal übereinandergelagerten Schichten gebildet wird, deren jede aus durchsichtiger Materie von gewisser Dichtigkeit besteht, welche nach einem gewissen Gesetze abnimmt oder zunimmt. Dann ist klar, dass ein Lichtkörperchen nicht in gerader, sondern in krummer Linie fortgehen wird. Das hat schon Huygens in der erwähnten Abhandlung über das Licht bemerkt, aber er bestimmte nicht die Beschaffenheit dieser Curve, auf welcher das Lichtkörperchen in kürzester Zeit von einer Stelle zu einer anderen gelangt.''

Anstelle des Lichtstrahls auf seinem Weg durch ein Medium kann man auch einen fallenden Körper im Gravitationsfeld betrachten, wobei die Dichte des gewählten Mediums umgekehrt proportional der Fallgeschwindigkeit sein muß.

Johann BERNOULLI zerlegt also die Fallebene in infinitesimal dünne horizontale Schichten. Die gesuchte Kurve wird somit zunächst durch einen infinitesimalen Polygonzug ersetzt. Die Durchquerung der Schichten geschieht jeweils mit konstanter Geschwindigkeit. Nach dem Energieerhaltungssatz tex2html_wrap_inline499 ergibt sich für deren Betrag

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Wir diskutieren zunächst den Übergang zwischen zwei Schichten. Dieser Übergang zwischen zwei Medien verschiedener optischer Dichte wird durch das Snelliussche Brechungsgesetz (Willibrord SNELL van ROYEN (1591 - 1626)) charakterisiert:

tex2html_wrap579 tex2html_wrap581

Damit gilt:

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Natürlich ist dieses Brechungsgesetz auch für mehrere Medienwechsel gültig. Es folgt:

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tex2html_wrap585 tex2html_wrap587

Da sich die Geschwindigkeit v ständig ändert, gehen wir von beliebig vielen Medien mit beliebig nahen Trenngeraden aus. Der Polygonzug geht in eine Kurve, die gesuchte Brachistochrone über, deren aktueller Winkel tex2html_wrap_inline519 durch die Tangente angezeigt wird.

Wegen tex2html_wrap_inline521 folgt

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mit tex2html_wrap_inline525 .

Ferner gilt:

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Durch Quadrieren und Gleichsetzen erhalten wir:

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bzw.

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Diese Differentialgleichung war Johann BERNOULLI bekannt. Ihre Lösung ergibt die Zykloide mit der Parameterdarstellung:

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Wir erhalten also als Ergebnis:

tex2html_wrap589

Eine Zykloide ergibt sich als Bahnkurve eines Kreispunktes beim Abrollen eines Kreises mit Radius tex2html_wrap_inline535 auf einer Geraden, und zwar desjenigen Kreispunktes, der im Ursprung der Berührpunkt war. Anschaulich gesprochen bewegt sich ein Punkt auf dem Reifen eines Fahrrads (näherungsweise das Ventil) auf einer Zykloide.

Die Konstante tex2html_wrap_inline535 in tex2html_wrap_inline539 muß noch so angepaßt werden, daß die Zykloide durch den Endpunkt tex2html_wrap_inline541 verläuft. Bei der von Johann BERNOULLI angegebenen Konstruktion wird ausgenutzt, daß alle Zykloiden zueinander ähnlich sind. Man verbindet zunächst die beiden gegebenen Punkte A,B durch eine Gerade. Anschließend wählt man über der horizontalen Achse eine beliebige Zykloide, die in A beginnt. Der Schnittpunkt der Geraden AB mit dieser Zykloide sei S.

Dann gilt: Der Durchmesser des Kreises, der die gesuchte Zykloide erzeugt, verhält sich zum Durchmesser des erzeugenden Kreises der gezeichneten Zykloide wie die Strecke [AB] zur Strecke [AS].

Bemerkungen:

-
Wegen tex2html_wrap_inline555 hat die Brachistochrone im Ursprung eine senkrechte Tangente. D.h. der Körper fällt vom Startpunkt A aus zunächst nach unten.
-
Die Brachistochrone kann sogar von unten im Endpunkt tex2html_wrap_inline541 ankommen.
Horizontale Tangente:

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Eingesetzt in Parameterdarstellung:

eqnarray176

Der Punkt P ist Zykloidenpunkt mit waagrechter Tangente tex2html_wrap_inline565 . D.h. für tex2html_wrap_inline567 würde der Zykloidenbogen nach Erreichen des Minimums sogar wieder ansteigen bevor er B erreicht.

Zur Biographie von Johann Bernoulli

Damit der Nachwelt sein Leben gemäß seiner Sichtweise überliefert wird, schrieb Johann BERNOULLI sicherheitshalber seine Biographie selbst. Aber er begnügte sich nicht mit einer einzigen Selbstbiographie, dazu war er sich wohl zu bedeutend. Er verfaßte gleich deren zwei, die sich inhaltlich und in der Sprache (deutsch bzw. französisch) unterscheiden. Man könnte vermuten, daß die deutsche Fassung mehr für den internen, sprich familiären, Gebrauch bestimmt war, die französische Version hat eher einen offiziellen Charakter. Auch um seine wissenschaftlichen Werke hat man sich rechtzeitig gekümmert. Bereits zu seinen Lebzeiten wurden seine Opera Omnia von Gabriel CRAMER (1704 - 1752) herausgegeben. Eine der Anfangsseiten ziert ein Portrait Johann BERNOULLIs, darunter findet sich ein von VOLTAIRE (1694 - 1778) verfaßtes Motto (vgl. Abb. S. 9):

Son ésprit vit la vérité
Et son c tex2html_wrap591 ur connut la justice,
Il a fait l'honneur de la Suisse
Et celui de l'humanité.

Zu Johann BERNOULLIs großen Verdiensten gehört sicherlich sein Beitrag zu dem Ausbau der Analysis zu einer mathematischen Theorie, sowie das erfolgreiche Anwenden von Methoden der Analysis bei einer Vielzahl von Problemen. Diesen Ruhm teilt er mit seinem älteren Bruder Jakob. Johann befaßte sich auch mit der Integration rationaler Funktionen sowie dem Differenzieren und Integrieren von Exponentialfunktionen. LEIBNIZ schrieb einmal, daß die Entwicklung der Analysis den Brüdern BERNOULLI ebensoviel zu verdanken habe wie ihm selbst. In ihrer Wesensart waren die beiden Brüder grundverschieden. Jakob war ein gründlicher und ein auf Vollständigkeit bedachter Mathematiker. Johann dagegen sprühte vor Ideen, er war brillant, ließ es aber manchmal an Genauigkeit missen.

Familiärer Hintergrund

Die Familie BERNOULLI stammte ursprünglich aus Antwerpen. Der Großvater Johanns, der Kaufmann Jakob BERNOULLI (1598 - 1634), floh als Calvinist vor der Inquisition unter Herzog Alba in die Schweiz und ließ sich in Basel nieder. Nikolaus BERNOULLI (1623 - 1703), der Vater Johanns, war ein wohlhabender Gewürzhändler und übte als Rats- und Gerichtsherr in Basel großen Einfluß aus. Seine Frau, Margaretha SCH¨ONAUER (1626 - 1673), stammte aus einer angesehenen Baseler Bankiersfamilie. Die Ehe war ziemlich kinderreich, Johann kam am 27. Juli 1667 als zehntes Kind zur Welt. Die meisten Kinder dieser Ehe sind allerdings früh verstorben. Große Berühmtheit erlangte neben Johann noch sein älterer Bruder Jakob (1655 - 1705).

Die Berufsausbildung der Brüder verlief zunächst überhaupt nicht nach deren Wunsch. Der Vater bestimmte die Studienwahl und beide mußten sich fügen. Aber im Laufe der Zeit gelang es ihnen, auf das Gebiet ihrer Neigungen, die Mathematik, überzuwechseln. Da das Leben und Wirken Johann BERNOULLIs wesentlich durch seinen Bruder mitbestimmt wurde, werfen wir zunächst einen Blick auf dessen Biographie.

Der ältere Bruder

Jakob erhielt vom Vater die Einwilligung zum Studium an der Basler Universität. 1671 erwarb er den magister artium in Philosophie, sein Interesse galt der Mathematik. Dafür zeigte der Vater allerdings kein Verständnis. Er zwang den Sohn dazu, evangelische Theologie zu studieren. Auch die finanzielle Unterstützung fiel nicht gerade üppig aus, obwohl die BERNOULLIs zu den wohlhabenden Familien der Stadt gehörten. Nach Abschluß seines Studiums im Jahr 1676 ging Jakob als Hauslehrer nach Genf. Dort begann er 1677 auch mit seinem wissenschaftlichen Tagebuch, den Meditationes. Ab 1678 hielt er sich zu Studienzwecken im Ausland auf, zunächst für zwei Jahre in Frankreich, wo er sich mit den Schriften von René DESCARTES (1596 - 1650) und dessen Anhängern vertraut machte. Anschließend reiste er in die Niederlande, und zwar nach Amsterdam und Leiden, um dann im Sommer 1682 nach London zu gehen. Er fand Zugang zur Royal Society und hatte u.a. Kontakt mit dem Chemiker Robert BOYLE (1627 - 1691) und dem Physiker Robert HOOKE (1638 - 1703). In London erwarb er die mathematischen und mechanischen Schriften von Johann WALLIS (1616 - 1703) sowie die optischen und geometrischen Vorlesungen Isaac BARROWS (1630 - 1677). In letzterem findet sich übrigens bereits die Ungleichung

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die heutzutage in der Literatur nach BERNOULLI benannt ist. Nach seiner Rückkehr nach Basel begann Jakob mit privaten Vorlesungen über Mechanik der festen und flüssigen Körper an der Universität. Dabei führte er auch Experimente vor - ein absolutes Novum für Basel. Bei seinen wissenschaftlichen Neigungen verwundert es nicht, daß er die ihm angebotene Stelle eines Predigers in Straßburg ausschlug. Gerne hätte er den Ruf auf eine Mathematikprofessur in Heidelberg angenommen, aber der familiäre Widerstand war zu groß, und er mußte verzichten. Schließlich erreichte er doch noch sein Wunschziel, 1687 erhielt er die durch Tod frei gewordene mathematische Professur an der Basler Universität.

Jakob BERNOULLIs wohl bedeutendstes Werk ist die vierteilige Ars conjectandi, die erst 1713, also acht Jahre nach seinem Tod, veröffentlicht wurde. Der erste Teil besteht aus einem Kommentar zu einer Arbeit von HUYGENS zur Spieltheorie, im zweiten Teil werden Regeln und Rechengesetze zur Kombinatorik zusammengestellt. Teil drei enthält eine Beispielsammlung zur Gewinnerwartung bei verschiedenen Spielen. Im vierten Teil legt Jakob das Fundament für die Wahrscheinlichkeitstheorie und beweist u.a. das Gesetz der großen Zahlen. Weiter beschäftigt er sich mit unabhängig durchgeführten Zufallsexperimenten (Bernoulli-Versuche).

Johanns Jugendjahre

Nachdem der Vater bereits seine zwei älteren Söhne Jakob und Niklaus an die ``brotlosen Künste'' Mathematik bzw. Malerei verloren hatte, wollte er unbedingt Johann als Nachfolger im eigenen Geschäft sehen. Er schickte ihn daher nach dem Besuch des Basler Gymnasiums zu einem Geschäftsfreund nach Neuchâtel, damit er dort seine Französischkenntnisse verbessern und vor allem den Gewürzhandel erlernen sollte. Nach einem Jahr gab Johann aber auf, er fühlte sich für diese Tätigkeit nicht geeignet. ``Ich wäre'', so schrieb er, ``von Gott dem Herrn zu etwas anders destinirt.'' Schließlich rang er 1683 dem Vater die Erlaubnis zum Studium ab. Das bedeutete für den 16jährigen zunächst ein Vorstudium an der Artistenfakultät der Universität Basel.

Die Universitäten zur damaligen Zeit waren anders strukturiert als heute. Es gab drei große Fakultäten: Theologie, Rechtswissenschaft, Medizin (in dieser Reihenfolge!) und dann noch die Artistenfakultät. An letzterer wurden neben alten Sprachen (Latein, Griechisch, Hebräisch) auch Fächer wie Mathematik, Physik, Botanik, Geschichte, Logik, Ethik und Rhetorik gelehrt. Der Lehrstoff ähnelte in vielem dem unserer heutigen Gymnasien. Das sog. Vorstudium an der Artistenfakultät wurde mit dem magister artium abgeschlossen. Anschließend begann das eigentliche Studium an einer der drei genannten großen Fakultäten. Die Gehälter der Professoren waren übrigens gemäß der Rangfolge der Fakultäten unterschiedlich. Am höchsten wurden die Theologen besoldet, am niedrigsten die Professoren der Artistenfakultät.

1685 erlangte Johann mit einer logischen Disputation seinen magister artium. Er wollte sich unbedingt der Mathematik widmen, weil er ``darzu ein sonderbahre lust verspühret.'' Der Vater bestand aber auf einem Medizinstudium und Johann mußte sich fügen. Mit einer Arbeit über den Gärungsvorgang schloß er das ungeliebte Studium im Jahr 1690 ab.

Heimlich hatte er sich aber inzwischen von Jakob in die elementaren Teile der Mathematik einführen lassen. Er war ungewöhnlich aufnahmefähig und ideenreich. Daher konnte er sich bald an tiefergehenden Untersuchungen Jakobs beteiligen, die sich zu dieser Zeit auf die neue Infinitesimalmathematik im Zusammenhang mit Fragen der Mechanik bezogen. Große Schwierigkeiten hatte Jakob u.a. mit der Deutung der Beiträge von LEIBNIZ zur Infinitesimalmathematik in den Acta Eruditorum. In dem Artikel Nova Methodus Pro Maximis et Minimis vom Oktober 1684 legte LEIBNIZ die Grundlage seiner Infinitesimalrechnung. Inhaltlich ist dieser Aufsatz schwer verständlich, er diente wohl eher zur Prioritätssicherung als zu einer Erklärung der neuen Methode. Auch die beiden BERNOULLIs hatten Verständnisschwierigkeiten. Jakob schrieb daher an LEIBNIZ nach Hannover mit der Bitte um Erklärungen. Dieser war aber auf einer über zwei Jahre dauernden Reise nach Österreich und Italien und somit ohne Verbindung mit Hannover. Den Brief las er erst nach seiner Rückkehr. In der Zwischenzeit hatten Jakob und Johann die Abhandlungen verstanden und waren in der Lage, die neuen Methoden anzuwenden. Jakob löste damit das von LEIBNIZ 1686 gestellte Problem der Isochrone (Welche Bahn muß man für einen Körper vorgeben, damit man unabhängig von der Auslenkung bzw. von der Starthöhe stets die gleiche Schwingungsdauer erhält?). Als diese Arbeit in den Acta Eruditorum erschien, antwortete LEIBNIZ auf den drei Jahre zurückliegenden Brief, daß Jakob nun keine Erläuterungen mehr nötig hätte. Mit den Brüdern BERNOULLI hatte LEIBNIZ nun zwei wichtige Mitstreiter gefunden, die wesentlich zur Verbreitung seines neuen Kalküls auf dem Kontinent beitrugen.

Wissenschaftliche Tour

Im Oktober 1690 verließ Johann BERNOULLI Basel und ging zunächst - wie 14 Jahre vor ihm sein Bruder Jakob - nach Genf, wo er im Hause eines Arztes Aufnahme fand. Kurz vor seiner Abreise hatte er noch die Lösung des Problems der Kettenlinie druckfertig aufgeschrieben, die Jakob dann an die Acta Eruditorum sandte, wo sie im Juniheft des Jahres 1691 erschien. Es geht hierbei um folgende Frage: Welche Kurve nimmt eine an ihren Enden aufgehängte Kette an? Dieses Problem wurde erstmals 1638 von GALILEI in seinem bereits erwähnten Werk Unterredungen und mathematische Demonstrationen über zwei neue Wissenszweige, die Mechanik und die Fallgesetze betreffend aufgegriffen. Er meinte allerdings, daß die resultierende Kurve parabelähnlich sei. Widerlegt wurde diese Annahme 1639 durch Experimente von Joachim JUNG (1587 - 1657) in der Arbeit Geometria empyrica. Es blieb jedoch offen, von welcher Gestalt die Kurve ist. 1690 stellte Jakob BERNOULLI am Ende seiner Abhandlung über die Isochrone erneut die Frage nach der Gestalt der Kettenlinie, um an ihr die Leistungsfähigkeit der neu entwickelten Infinitesimalrechnung zu demonstrieren. Lösungen wurden von LEIBNIZ, HUYGENS, Johann und Jakob BERNOULLI gefunden. Allerdings benutzte HUYGENS nicht die modernen Methoden, die er zwar sehr schätzte, aber mit ihnen nie mehr richtig vertraut wurde, da er einer früheren Mathematikergeneration als LEIBNIZ und die BERNOULLIs angehörte. Johann fand seine Lösung nach einer schlaflosen Nacht noch vor seinem Bruder und hatte damit bewiesen, daß er mit 23 Jahren nunmehr dessen mathematischen Vorsprung eingeholt hat. Rückblickend schrieb er in seiner Autobiographie darüber:

``Inzwischen hab ich mich auf die Mathesin geleget, darzu ich eine sonderbahre lust bey mir verspühret; welches mir dan nicht übel gelungen, zumahlen ich darin durch göttlichen beystand zimliche Fundamenta geleget, wie ich es hernachmals durch underschiedliche Erfindungen und Probstücken hin und wider an Tag gegeben, welche jeweilen von den gelehrtisten Mathematicis (vielleicht über meriten) seind ästimiert worden: deren eines das erste in den Actis Lips, anni 1691 M. Junio zu sehen, in sich haltend meine Solutionem problematis catenarii publice propositi, so damahls neben mir niemand solviert hatte als nur die HH. Leibnits und Hugens, nachdem zuvor mein Br. H. Jacobus Bernoulli sel. sich mit dessen Solution zu finden lang vergeblich maceriert und bemüht;...''

Die wohl eindrucksvollste Realisation einer (umgeklappten) Kettenlinie steht als symbolisches Tor zum Westen am Ufer des Mississippi in St. Louis (Missouri). Dieser 1965 fertiggestellte ``Gateway Arch'' soll daran erinnern, daß von dieser Stadt aus die Westwärtsausbreitung der USA ihren Anfang nahm.

Gebaut wurde der gewaltige Bogen nach einem Entwurf des finnisch-amerikanischen Architekten Eero SAARINEN (1910 - 1961). Die doppelwandige Stahlkonstruktion besteht außen aus Edelstahlplatten, das dreieckige Profil verjüngt sich nach oben. Unten beträgt die Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks 16,5 m, mit zunehmender Höhe verkleinert sie sich bis auf 5,2 m. Die Entfernung zwischen den Fußpunkten des Bogens mißt 192 m. In zylindrisch geformten Kabinen eines innen liegenden Spezialaufzugs können Besucher zum Scheitelpunkt in 192 m Höhe gelangen und von dort durch schmale Fenster ein eindrucksvolles Panorama genießen.

Zurück zu Johann BERNOULLI. In Genf suchte er Kontakt mit wissenschaftlich interessierten Persönlichkeiten. Um seinen Unterhalt zu verdienen, unterrichtete er einen Festungsingenieur in Differentialrechnung. Er selbst forschte unablässig weiter auf diesem Gebiet. Mit seinem Bruder stand er in ständigem Briefwechsel, in dem sie ihre neuesten Ergebnisse austauschten und sich gegenseitig mit Aufgaben herausforderten. Fast gleichzeitig mit Jakob stellt er die Formel

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für den Krümmungsradius einer ebenen Kurve auf.

Der Aufenthalt in Genf hatte für Johann beinahe fatale Folgen. Bei einem abendlichen Ausritt am Genfer See stürzte er zusammen mit seinem Pferd in eine Schlucht. Wie durch ein Wunder überstanden Reiter und Pferd den Unfall mit leichten Blessuren. Dies war für den gottgläubigen Johann Anlaß, jeden Tag seinem Schöpfer für die Rettung zu danken. In seiner Autobiographie schrieb er: ``...wie ich dan meinen Schöpfer..., alle Tag in meinen Gebett hertzinniglich dancke,...lobe und preyse.''

Im September 1691 reiste Johann dann von Genf nach Paris. Auch hier wandelte er wieder in den Fußstapfen seines Bruders. Wie dieser mehr als zehn Jahre zuvor, stellte er sich bei dem Philosophen Nicolas MALEBRANCHE (1638 - 1715) vor, einem Kenner der Schriften René DESCARTES (1596 - 1650). Als Empfehlung überreichte Johann seine in Paris noch unbekannte Lösung des Problems der Kettenlinie. Das war geschickter Coup. MALEBRANCHE und seine Schüler, unter ihnen der Marquis Guillaume François Antoine de l'HfOPITAL (1661 - 1704) befaßten sich nämlich selbst seit 1688 mit der neuartigen Infinitesimalrechnung, sie konnten also die Lösungsmethode durchaus einschätzen. Die vorgelegte Lösung des Kettenlinienproblems beeindruckte die Franzosen außerordentlich. Aber Johann war ihnen suspekt. Einem so jungen Mann trauten sie eine solche Leistung nicht zu. Sie hielten ihn zunächst für einen Hochstapler, der sich mit fremden Federn schmückte. Daher unterzog der Marquis de l'HfOPITAL Johann einem strengen Examen, das dieser glänzend bestand. Überzeugt hatte er auf der ganzen Linie insbesondere durch seine Formel für den Krümmungsradius, mit der er vermeintlich schwierige Probleme ohne langwierige Rechnungen meisterte. Stolz stellt Johann über seinen Aufenthalt fest:

``In dieser Weltberühmten Statt hab ich mich bey vielen berühmten und Gelehrten Leqten, sonderlich bey den Philosophis und Mathematicis in eine nicht geringe Reputation gesetzet.''

Johann kam neben seinem überragenden Können und seiner Brillance noch der Umstand zugute, daß in Paris die neueren Hefte der in Leipzig erscheinenden Acta Eruditorum noch nicht vorhanden waren. Diese Zeitschrift war das Forum für die neuesten Entwicklungen der Infinitesimalrechnung. Seit 1688 wütete der Pfälzische Erbfolgekrieg (1688 - 1697) und dadurch verzögerten sich die Lieferungen der Leipziger Zeitschrift erheblich. Auslöser dieses Krieges waren Erbansprüche des Sonnenkönigs Ludwig XIV., dessen Bruder, der Herzog von Orléans seit 1671 mit Liselotte von der Pfalz verheiratet war. Städte wie Mannheim und Durlach gingen in Flammen auf, die Ruine des Heidelberger Schlosses erinnert noch heute an diesen Krieg.

Ein folgenreicher Vertrag

Der Marquis war begeistert von den Kenntnissen des jungen Mannes aus Basel und ließ sich von ihm Privatunterricht gegen gute Bezahlung geben. Johann hingegen fühlte sich geschmeichelt, daß ein so berühmter Mann wie der Marquis sein Schüler war.

``...der unter anderen Hochästimirte und fürtreffliche Mathematicus H. Marquis de l'Hopital auß dem uhralten und durchläuchtigen Geschlechte der Hospitaliern, welcher obschon in ordinaria Geometria mit ungemeiner Wüssenschaft begabt und es damahls allen französischen Mathematicis zuvorthat, [hat] mich dennoch soviel gewürdigt, daß Er von mir zu lehrnen und in profundiori Mathesi absonderlich in unserem calculo differentiali und integrali sich meiner Instruktion zu underwerfen sich nicht geschämet hatt.''

Die Unterweisungen in den neuen Methoden fanden jeden zweiten Tag statt. Sie erstreckten sich in Paris über ein halbes Jahr und wurden anschließend auf dem Landsitz des Marquis, einem Schloß nahe der Loire, fortgesetzt. Johann bereitete sich sehr gründlich auf den Unterricht vor und überließ dem Marquis auch seine Aufzeichnungen. Aufgrund der ausgezeichneten Unterweisung entwickelte sich l'HfOPITAL rasch zu einem Experten für die neuen Methoden. Im November 1692 kehrte Johann nach Basel zurück, wo er sein Medizinstudium(!) aufnahm. Kurz vor seiner Abreise lernte er noch den Abbé Pierre VARIGNON (1654 - 1722) kennen, mit dem ihn eine lebenslange Freundschaft verbinden sollte. Mit l'HfOPITAL blieb er in regem Briefkontakt. Im Gegensatz zu seinen Briefwechseln mit LEIBNIZ, VARIGNON und anderen, verlief dieser Kontakt sehr einseitig. Johann bearbeitete die Fragen und Aufgaben des Marquis, er berichtete von seinen neuesten Entdeckungen, stellte selbst aber nie Fragen. Johann war also der Geber, der Marquis der Empfänger - was die Mathematik anbelangt. Finanziell lief es genau umgekehrt; in dieser Hinsicht war der Briefwechsel für Johann lukrativ, denn der Marquis bezahlte gut, nämlich eine jährliche Pension in Höhe eines halben Professorengehaltes.

Diese Bezahlung, die mit dem Unterricht in Paris begann und bis einschließlich 1696 lief, wurde am 17. März 1694 in einem Abkommen festgeschrieben. Als Gegenleistung verlangte l'HfOPITAL:

1.
Daß Bernoulli alle mathematischen Gegenstände bearbeite, die er ihm vorlegt.
2.
Daß Bernoulli alle seine Entdeckungen ihm und nur ihm mitteile.
3.
Daß Bernoulli weder an Varignon noch an andere eine Kopie der dem Marquis überlassenden Schriftstücke weitergebe.

Dieser Vertrag machte BERNOULLI nicht nur zu einem Angestellten l'HfOPITALs, viel gravierender, er erschwerte es BERNOULLI, eigene Arbeiten zu veröffentlichen. Der zweite Passus ist entwürdigend, denn er besagt, daß der Marquis alle Entdeckungen Johanns gekauft hat. Als geradezu sittenwidrig kann man den dritten Passus bezeichnen, denn er gibt dem Marquis die Möglichkeit, Johanns Ergebnisse als die seinen auszugeben. Wie konnte er sich nur auf so einen Vertrag einlassen? Fühlte er sich geehrt, daß er als junger Mann für einen bekannten Wissenschaftler arbeiten durfte? Oder bedeutete Geld so viel für ihn?

Letzteres mag wohl der ausschlaggebende Grund für den Kontrakt sein. Beleuchten wir Johanns Situation Anfang 1694. Johann war zu dieser Zeit mäßig besoldeter Stadtingenieur in Basel. Gerne hätte er eine mathematische Professur innegehabt, doch diejenige an der Baseler Universität war seit 1687 durch seinen Bruder Jakob besetzt. LEIBNIZ verschaffte Johann einen Ruf nach Wolfenbüttel, doch er mußte auf Druck des Vaters seiner Verlobten Dorothea FALKNER (1673 - 1764) ablehnen. Dieser wollte sich auf keinen Fall von seiner Tochter trennen. Im März 1694 legte Johann sein medizinisches Doktorexamen ab, seine Dissertation über die Muskelarbeit De motu musculorum erschien in den Acta Eruditorum. Zehn Tage nach diesem Examen heiratete er seine Verlobte, die aus einer der ältesten und vornehmsten Familien der Stadt stammte.

Vor diesem Hintergrund erscheint es verständlich, daß Johann sein bescheidenes Gehalt aufbessern wollte. Da kam der Vertrag mit dem Marquis zur rechten Zeit. Doch Johann sah anscheinend nur das Geld und nicht die inhaltlichen Konsequenzen des Abkommens. Diese sollte er aber bald zu spüren bekommen, und die Frustration war dann groß.

Im Jahr 1696 publizierte der Marquis de l'HfOPITAL sein Lehrbuch Analyse infiniments petits, pour l'intelligence des lignes courbés (Analysis des Unendlichkleinen, zum Verständnis der gekrümmten Kurven). Mit dieser Veröffentlichung legte die Differentialrechnung ihren Status als ``Geheimwissenschaft'' weniger Auserwählter ab, das Buch fand schnell eine weite Verbreitung. Es ist in zehn Abschnitte untergliedert:

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Regeln der Differentiation algebraischer Ausdrücke
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Tangentenkonstruktionen
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Bestimmung der Maxima und Minima
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Ermittlung der Evolventen
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Eigenschaften der Evolventen
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Auffindung der Kata- und Diakaustiken (2 Abschnitte)
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Enveloppen
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Ermittlung unbestimmter Formen
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Anwendungen zur Auffindung mehrfacher Gleichungswurzeln

Von den Buchplänen seines Briefpartners wußte Johann - zu diesem Zeitpunkt bereits Professor in Groningen - absolut nichts. Das Erscheinen des Buches ärgerte ihn, da er selbst seine Aufzeichnungen der Unterweisungen des Marquis als eine Einführung in die Differentialrechnung veröffentlichen wollte. Geradezu empört war Johann, als er feststellen mußte, daß aus seinen Aufzeichnungen und Briefen der Marquis den größten Teil des Buches zusammengestellt hatte. Dessen Eigenleistung bestand im wesentlichen aus der Korrektur einiger kleinerer Fehler und der Umsetzung der Vorlagen in eine flüssige, einheitliche Form. Von Johann BERNOULLI stammt also der mathematische Inhalt, l'HfOPITALs nicht zu unterschätzendes Verdienst ist die didaktische Aufbereitung des Stoffes. Lediglich im Vorwort findet der zutiefst gekränkte Johann Erwähnung:

``Übrigens erkenne ich an, viel den Aufklärungen der Herren Bernoulli zu schulden, besonders des jungen, der jetzt Professor in Groningen ist. Ich habe mich ohne weiteres ihrer Entdeckungen und derer des Herrn Leibniz bedient. Daher bin ich damit einverstanden, daß sie alles, was ihnen beliebt, für sich in Anspruch nehmen, indem ich mich damit begnüge, was sie mir gütigst überlassen wollen.''

Diese Worte hatte l'HfOPITAL geschickt gewählt und sie verfehlten nicht ihre Wirkung bei Rezensenten. Sie lobten und priesen die Aufrichtigkeit und Bescheidenheit des Marquis, der von seinen Entdeckungen nur die beansprucht, die ihm andere zugestehen wollen. Das traf Johann ins Innerste. Er schäumte vor Wut und Enttäuschung, konnte aber nichts unternehmen - der Vertrag verpflichtete ihn zum Schweigen. Das Verhalten des Marquis war nicht gerade gentlemanlike, aber er war im Recht. Auch bei anderen Gelegenheiten handelte er im Streben nach wissenschaftlicher Anerkennung nicht ganz korrekt. So gab er LEIBNIZ und HUYGENS gegenüber Entdeckungen als die seinigen aus, die er aber in Wirklichkeit Briefen Johanns entnommen hatte.

Öffentlich konnte Johann den Marquis nicht anprangern, lediglich in Briefen an HUYGENS und LEIBNIZ tat er seinen Zorn und Kummer kund. So schrieb er an LEIBNIZ:

``...denn alles mit Ausnahme weniger Seiten (das sage ich Dir ins Ohr und keinem anderen) hat er teils von mir geschrieben bekommen, teils in die Feder diktiert, teils auch nachdem ich Paris verlassen hatte, durch Briefe, worüber von mir Beweise in Fülle bewahrt werden und zu geeigneter Zeit veröffentlicht werden können, die auch vor der Veröffentlichung des Werkes verschiedene Freunde gesehen und einen guten Teil davon abgeschrieben haben, und besonders besitze ich Briefe von Hospital an mich, die bezeugen, wieviel mir zuzusprechen ist. Sein Hauptverdienst ist, daß er in Ordnung brachte und säuberlich französisch verfaßte, was ich ihm unordentlich teils lateinisch, teils französisch auseinandergesetzt hatte. Aus eigenem, wie gesagt, hat er nicht mehr hinzugefügt, als was 3 oder 4 Seiten füllt. Aber ich möchte nicht, daß Du ihm etwas mitteilst darüber, was ich im Vertrauen auf deine Verschwiegenheit Dir übermittelt habe; sonst würde seine freundschaftliche Gesinnung gegen mich ins Gegenteil zweifellos umschlagen.''

Auf die freundschaftliche Gesinnung des Marquis war Johann aus einem weiteren Grund angewiesen. Zwischen ihm und seinem Bruder Jakob tobte ein heftiger wissenschaftlicher Streit, unter dem auch das persönliche Verhältnis der beiden sehr litt. Dieser Disput wurde vor allem in einer französischen Zeitschrift ausgetragen, bei der l'HfOPITAL einen gewissen Einfluß hatte. Erst nach dessen Tod im Jahr 1704 ging Johann mit seinen Ansprüchen an die Öffentlichkeit, fand aber bei den meisten kein Gehör bzw. keine Zustimmung - auch nicht bei Historikern im 19. und beginnenden 20. Jahrhundert. Seine mehrfach gezeigte Eitelkeit und Prahlerei mögen dazu ihren Beitrag geleistet haben. So werden bis heute z.B. die Ableitungsregeln für unbestimmte Ausdrücke der Form tex2html_wrap_inline575 oder tex2html_wrap_inline577 nach l'HfOPITAL und nicht nach Johann BERNOULLI benannt.

Im Jahre 1922 entdeckte man in der Basler Universitätsbibliothek ein Manuskript in der Form eines gewöhnlichen Schreibheftes mit dem Titel Johanis Bernoullii Lectiones de calculo differentialium. Ein Vergleich mit l'HfOPITALs Buch belegt, daß Johann mit seinen Ansprüchen im wesentlichen Recht hatte.

Professor in Groningen

Johann sprühte geradezu von Ideen, so daß er - trotz seines Kontrakts mit l'HfOPITAL - einen großen Bekanntheitsgrad erlangte. Auch wurde dem Marquis allmählich bewußt, daß es nicht gut gehen konnte, wenn er ``einen Löwen vor seinen Wagen spannt''. Daher unterstützte er im Jahr 1695 HUYGENS Bemühungen, Johann für eine sehr gut dotierte Professur für Mathematik und Botanik an der Universität Groningen zu gewinnen. Der Ruf erreichte BERNOULLI im Juli 1695, dem Sterbemonat von HUYGENS.

Johann zu gewinnen, das war einfach. Aber die Familie machte wieder große Schwierigkeiten. Schwiegervater und Frau waren strikt dagegen, zumal am 27. Januar 1695 das erste Kind Nikolaus auf die Welt gekommen war. Schließlich drohte Johann, auch allein nach Groningen zu gehen. Diese Entschlossenheit zeigte Wirkung, seine Frau willigte ein.

Am 1. September 1695 trat die Familie die lange Reise in die Niederlande an, zur damaligen Zeit wirklich keine einfache Angelegenheit. Die Strecke von Basel nach Frankfurt wurde in einer Kutsche zurückgelegt. Diese Fahrt war nicht ungefährlich, da sie durch Kriegsgebiet verlief. Denn noch immer tobte der Pfälzische Erbfolgekrieg. Von Frankfurt ging es weiter per Schiff bis Nijmwegen, dann mit der Kutsche bis Utrecht und wieder mit dem Schiff bis Amsterdam. Hier erreichte Johann ein Ruf an die neugegründete Universität Halle, den LEIBNIZ vermittelt hatte. Johann lehnte ab, und die Familie bestieg für die letzte Reiseetappe wieder ein Schiff. Am 22. Oktober trafen die BERNOULLIs in Groningen ein.

Die feierliche Einführung in sein Amt fand am 28. November statt. Unter dem Klang von Trompeten zog der neue Professor, geleitet vom Vizekanzler, in die Universitätskirche ein. Die Antrittsvorlesung trug den Titel In Laudem Matheseos. Mit 28 Jahren war Johann BERNOULLI in der mathematischen Welt angesehen und anerkannt, er hatte nun auch eine gesicherte Stellung mit einem sehr guten Gehalt. Zehn Jahre sollte er in Groningen bleiben.



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Karin Mueller
Sun Jun 1 12:32:27 MET DST 1997