Halbierung eines Kreises

"Ein Kreis wird durch den Durchmesser in zwei gleich große Hälften geteilt".

Thales soll diesen Satz bewiesen haben. Wie genau, weiß man nicht, doch Proklos läßt es uns ahnen [2] :
Denke dir den Durchmesser gezogen und die eine Kreishälfte auf die andere gelegt. Ist sie nicht gleich, so wird sie entweder innerhalb oder außerhalb zu liegen kommen. In beiden Fällen wird sich die Folgerung ergeben, daß die kürzere Gerade gleich ist der längeren; denn alle Linien vom Mittelpunkt an die Peripherie sind einander gleich. Das ist aber unmöglich. Sie werden also so aufeinander passen, daß sie gleich sind. Also halbiert der Durchmesser den Kreis.

Dieser Beweis arbeitet mit der "Methode des Aufeinanderlegens". Das Kongruenzaxiom ( Axiom 7 (Buch I) (engl. com. not. 4)) von Euklids Elementen [5] lautet: "Was einander deckt ist einander gleich".

Man kann diesen (von Proklos zitierten) Beweis als einen der ersten Widerspruchsbeweise ansehen - noch vor den klassischen indirekten Beweisen von Paramenides und Zenon (ca. 500 v. Chr.) von Elea. Die Stelle "...Ist sie nicht gleich, so wird sie entweder..." deutet darauf hin.

Bei Euklid ist dieser Satz zur Definition geworden. Warum das so ist, kann man bei Heuser ([2]) nachlesen:
Man hat vermutet, Euklid habe sich an dem empirischen Erdenrest gestoßen, der seinem Kongruenzaxiom anhaftet. In diesem Axiom scheint ja die Vorstellung zu stecken, man bewege eine Figur (um sie nämlich auf eine andere zu legen); "bewegen"aber könne man nur etwas Materielles.
Dem hält Bertrand Russell entgegen:
... eine empirische "Bewegung" sei hier gar nicht nötig, es genüge ein Übertragen der Aufmerksamkeit von einer Figur zur anderen. Für diese These spricht auch der Umstand, daß die griechischen Mathematiker ihre Figuren in Sand einzeichneten; von einem "Aufeinanderlegen" solcher Gebilde konnte natürlich keine Rede sein. Dieses "Aufeinanderlegen" war lediglich ein geistiger Akt; und Proklos beginnt denn auch den Beweis des Halbierungssatzes mit den Worten: "Denke dir einen Durchmesser gezogen und die eine Kreishälfte auf die andere gelegt."