SS 1999
Dozent: Jürgen Mark
Datum: 21. Mai 1999
Seminar: Geometrie in der SI mit dem Computer
Leiter: Dr. W. Neidhardt

Besondere Punkte im Dreieck



Es gibt im Dreieck 3 besondere Punkte:
Im Folgenden werden die Schüler motiviert, diese Themen anhand alltäglicher Problemstellungen zu erarbeiten und im Anschluß ähnliche Aufgaben zu lösen.




1. Der Umkreismittelpunkt des Dreiecks

Definition:
    Im Dreieck schneiden sich die Mittelsenkrechten der Dreiecksseiten in genau einem Punkt M, der von jedem Eckpunkt des Dreiecks gleich weit entfernt ist. M ist daher der Mittelpunkt des Dreiecksumkreises k(M;r), der durch die Dreieckseckpunkte verläuft.
Jedes Dreieck besitzt einen Umkreis. Der Umkreismittelpunkt kann sowohl innerhalb, als auch außerhalb der Dreiecksseiten liegen.

Einstieg in der Schule:
    Drei Schüler Heiko, Peter und Jürgen* wohnen in unterschiedlichen Stadtteilen von Bayreuth. Sie wollen sich am Nachmittag nach der Schule zu einem Gedankenaustausch bezüglich der letzten Mathematikstunde treffen. Der Treffpunkt soll so gewählt werden, daß jeder (geradlinig) genau den gleichen Weg zurücklegen muß. Dazu betrachten sie einen vereinfachten Stadtplan, in dem ihre Wohnorte als Punkte eingezeichnet sind:

    Bild oben beschriebener Szene

    *) Die Namen der Schüler sind rein zufällig gewählt und stehen in keiner unmittelbaren Beziehung zu lebenden Personen (insbesondere Studenten)!

2. Der Inkreismittelpunkt des Dreiecks

Definition:
    Die drei Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich stets in einem Punkt M, der von den Seiten des Dreiecks den gleichen Abstand hat. M ist daher der Mittelpunkt des Dreiecksinkreises k(M;r), der die Dreiecksseiten innen berührt.
Jedes Dreieck besitzt einen Inkreis, dessen Mittelpunkt immer innerhalb des Dreiecks liegt.

Einstieg in der Schule:
    In einer Parkanlage inmitten von Bayreuth treffen drei Wege so aufeinander, daß sie ein Dreieck bilden. Innerhalb dieser Wege soll ein kreisförmiger Erholungsort für streßgeplagte Schüler genau so angelegt werden, daß er jeden Weg innen berührt.
    Wie findet man den Mittelpunkt der Erholungsstätte?

    Bild oben beschriebener Szene


3. Der Schwerpunkt des Dreiecks

Definition:
    Die drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in genau einem Punkt, dem sogenannten Schwerpunkt S des Dreiecks. Der Schwerpunkt teilt jede Seitenhalbierende ("Schwerelinie") im Verhältnis 2:1, der größere Abschnitt liegt jeweils an der Ecke.
Der Schwerpunkt liegt immer innerhalb des Dreiecks.

Einstieg in der Schule:
    In der Klasse soll ein Wettbewerb veranstaltet werden: 3 gefüllte, unkaputtbare Plastikflaschen werden so auf ein Tablett gestellt, daß sie ein geeignetes, großes Dreieck bilden. Wer von den Schülern es schafft, das Tablett mit nur einem Finger so zu unterstützen, daß das Tablett nicht umkippt, bekommt eine Flasche "Kutscherwasser" und eine Woche keine Hausaufgaben.

    Bild oben beschriebener Szene




Die Schüler sind nun angehalten, die drei obigen Fälle mit Hilfe des Geonet-Applets zu konstruieren.
Lösungen:


Weiterführende Aufgaben zum:


Literatur: gängige Schulbuchliteratur der Realschule (7. und 9. Jahrgangstufe)

© Mai 1999 by Jürgen Mark