Besondere Zahlen (-eigenschaften)

Mathematik Didaktik Seminar

Abundante, defiziente und vollkommene Zahlen

Betrachtet man einmal das Auftreten der Zahl 60 im Alltagsgebrauch, so fällt einem sofort die Uhrzeit ein — 60 Minuten, 60 Sekunden. Dies ist ein Überbleibsel der alten Babylonier, deren Mathematiker im Sexagesimalsystem mit der Grundzahl 60 rechneten. Die Zahl 60 hat, gemessen an ihrer Größe, besonders viele Teiler und eignet sich deshalb besonders gut, um bruchfrei zu rechnen.
Die Mathematiker der Antike legten großen Wert darauf, zu jeder Zahl auch ihre Teiler zu betrachten. Als Maß nahm man damals nicht etwa die Anzahl der Teiler, sondern die Summe der echten Teiler.

Zahlen mit besonders vielen Teilern hießen "abundant" (lat.:überströmend, überfließend), solche mit wenigen Teilern "defizient" (lat.:mangelhaft).

Z.B. erhält man für die Zahl 8 die Teilersumme 1+2+4=7 < 8 und damit ein Defizit an Teilern.
Für 24 hingegen ist die Teilersumme 1+2+3+4+6+12=28 > 24 und damit 24 mit einem "Überfluss" an Teilern versehen.

Im Grenzfall, also wenn die Summe der echten Teiler gleich der Zahl selbst ist, nannten die alten Griechen solche Zahlen vollkommen.

Z.B. ist 6 = 1+2+3 und 28=1+2+4+7+14 vollkommen.

Wieder einmal war es Euklid der das erste "Kochrezept" für vollkommene Zahlen schriftlich fixierte und mit Hilfe der geometrischen Reihe bewies.

Mit diesen Satz findet man leicht die Zahlen 6, 28, 496 und 8128. Später wurde von Euler bewiesen, dass diese Regel alle geraden, vollkommenen Zahlen liefert - vorausgesetzt man findet die passende Primzahl. Deshalb geht praktisch jeder neue große Primzahlfund mit einer weiteren großen vollkommenen Zahl einher.

Die Frage, ob es auch ungerade, vollkommene Zahlen gibt, ist bis heute ungeklärt. Im Falle einer Existenz müsste dieser aber größer als 10¹⁰⁰ sein und mindestens 11 verschiedene Primteiler besitzen.

Befreundete Zahlen

Ein anderer Zusammenhang zwischen zwei Zahlen wird ebenfalls durch deren Teilersumme charakterisiert: Ergeben die aufsummierten Teiler der einen Zahl genau die zweite Zahl und umgekehrt, so sprachen die Griechen von befreundeten Zahlen. Entdeckt wurde dieser Zusammenhang an den Zahlen 220 und 284, erstmals dokumentiert als Antwort von Pythagoras auf die Frage was denn ein Freund sei: "Einer, der ein anders Ich ist, wie 220 und 284."

Abgesehen von den - mit sich selbst befreundeten - vollkommenen Zahlen war im Altertum nur dieses eine Paar bekannt. Erst im 9. Jahrhundert wurde von dem Araber Thabit ibn Kurrah eine erste Regel zum finden befreundeter Zahlen gefunden.

Diese Regel liefert für n=2,4,7 die bis Euler wenigen bekannten befreundeten Zahlenpaare.

Erst Euler findet 1750 durch Intuition, Geschick und Können weitere 59 befreundete Zahlenpaare, darunter auch ungerade wie z.B. 3⁴·5·11·29·89 und 3⁴·5·11·2699.

Insgesamt kennt man heute rund 1100 befreundete Zahlenpaare, die meisten davon nicht etwa mit brachialer Computerpower errechnet, sondern von hochbegabten "Zahlenjägern" erdacht.

Mersenne Zahlen

Betrachtet man die Liste der Primzahlrekorde so springt einem die Form der gefundenen Zahlen ins Auge. Nahezu alle Rekordzahlen haben das Format 2ⁿ-1.

Die Zahlen M_n=2ⁿ-1 werden nach dem französischen Jesuitenpater Marin Mersenne (1588-1648) als Mersenne-Zahlen benannt.
Er stellte damals die Behauptung auf, dass M_n für n=2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257 prim sei. M₆₇ und M₂₅₇ sind allerdings - entgegen seiner Vermutung - zerlegbar und in seiner "vollständigen" Liste fehlen auch noch die Primzahlen M₆₁, M₈₉ und M₁₀₇.

Zwei Eigenschaften der Mersenne-Zahlen machen das Arbeiten mit ihnen leichter:

und

Mit Hilfe des kleinen Fermatschen Satzes kann man zudem zeigen: ist p prim, dann p|M_p-1.

Im Hinblick auf die Primzahlrekorde ist es noch vom Vorteil, dass die binäre Darstellung von Mersenne-Zahlen nur aus Einsen besteht - ideal für die Verarbeitung mit Computern