Teilbarkeitsregeln
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Mathematik
Didaktik Seminar
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Teilbarkeitsregeln
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Aus dem
Kapitel über Teilbarkeit fehlen noch einige Teilbarkeitsregeln. Mit Hilfe
der Kongruenz-Rechenregeln können Teilbarkeitsregeln für alle potentiellen
Teiler erstellt werden.
Beispielhaft soll dies für 11, 13 und 7 erfolgen.
Greifen wir noch einmal die Dezimaldarstellung einer Zahl a=an····a3a2a1 auf, die aus n Ziffern a0, a1, a2, ..., an besteht.
Diese hat die Darstellung a = a0+ 10·a1+ 10·a2+ ...+ 10n·an.
Teilbarkeit durch 11
Betrachtet man die Reste
bei der Division von 10-er Potenzen durch 11, sieht man aufgrund 10 º
-1 mod 11:
10n º (-1)n mod 11
Für a ergibt sich damit:
a º a0 - a1 + a2 - a3 +.....+(-1)nan mod 11
a º 0 mod 11 also genau dann, wenn die sogenannte alternierende Quersumme QSa(a) = a0 - a1 + a2 - a3 +.....+(-1)nan von a durch 11 teilbar ist.
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(TR8)
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a
ist durch 11 teilbarÛ 11|QSa(a)
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Beispiele:
| a = 51007 | QSa(a) = 7-0+0-1+5 = 11 Þ 11|a |
| a = 51 230 652 | QSa(a) = 2-5+6-0+3-2+1-5 = 0 Þ 11 | a |
| a = 424433 | QSa(a)
= 3-3+4-4+2-4 = -2 Þ
11
a |
Teilbarkeit
durch 13
Auch hier betrachtet man die Reste der 10-Potenzen bei Division durch 13.
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1 º 1 mod 13 |
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| 10 º -3 mod 13 | |
| 100 º 9 mod 13 | Beachte: 100 = 10·10 º (-3)·(-3) mod 13 = 9 mod 13 |
| 1000 º -1 mod 13 | |
| 10000 º 3 mod 13 | |
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100000 º -9 mod 13 |
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| 1000000 º 1 mod 13 | Ab hier
wiederholen sich die Zahlen, denn 106 º 10·10·10·10·10·10 mod 13 = (-3)6 mod 13 = 1 mod 13 |
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10000000 º -3 mod 13 |
Setzt man die Kongruenzen in die Darstellung von a ein, so erhält man:
a º a0 - 3a1 + 9a2 - a3 + 3a4 - 9a5 + a6 -.....mod 13
Beim Prüfen auf Teilbarkeit durch 13 ist also die spezielle Quersumme QS13(a) der Form a0 - 3a1 + 9a2 - a3 + 3a4 - 9a5 + a6 -... auf Teilbarkeit durch 13 zu prüfen.
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(TR9)
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a
ist durch 13 teilbarÛ 13|
QS13(a)
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Beispiele:
| a = 6045 | QS13(a) = 5-3·4+9·0-6 = -13Þ 13|a |
| a = 519 870 | QS13(a) = 0-3·7+9·8-9+3·1-9·5=0 Þ 13|a |
| a = 424 433 | QS13(a)
= 3-3·3+4·9-4+3·2-9·4= 8Þ
13
a |
Teilbarkeit
durch 7
Die Vorgehensweise für die Teilbarkeit durch 7 ist analog:
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1 º 1 mod 7 |
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| 10 º 3 mod 7 | |
| 100 º 2 mod 7 | |
| 1000 º -1 mod 7 | |
| 10000 º -3 mod 7 | |
| 100000 º -2 mod 7 | |
| 1000000 º 1 mod 7 | Ab hier wiederholen sich die Zahlen |
| 10000000 º 3 mod 7 |
Setzt man die Kongruenzen wieder in die Darstellung von a ein, so erhält man:
a º a0 + 3a1 + 2a2 - a3 - 3a4 - 2a5 + a6 -.....mod 7
Mit QS7(a) = a0 + 3a1 + 2a2 - a3 - 3a4 - 2a5 + a6 -... erhält man:
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(TR10)
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a
ist durch 7 teilbarÛ 7|
QS7(a)
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Auf diese Weise können Quersummenregeln im Prinzip für alle Teiler gefunden werde. Allerdings lassen sich diese meistens nur schwer merken und sind daher von zweifelhaften Nutzen.
Übung:
Stelle modifizierte Quersummenregeln für die Teilbarkeit durch 37 bzw. 101 auf!