Rechenregeln
Mathematik
Didaktik Seminar

Das erste Beispiel aus der Einführung hat uns gezeigt, dass man mit den Restklassen auch Rechenoperationen durchführen kann.
Sind z.B. a und b zwei Repräsentanten der Restklassen s* und t* des Moduls m, so ist

a = k1·m+s
und
b = k2·m+t

und die Summe von a und b

a+b = k1·m+s + k2·m+t = ( k1+ k2)·m+(s+t)

Damit hat (a+b) den Modul m und den Rest (s+t). Es ist jedoch bekannt, dass sich die Restklassen alle m wiederholen. Ist (s+t)>(m-1) befindet man sich wieder in einer Restklasse von m.
(a+b) ist also wieder Repräsentant einer Restklasse der Moduls m.

Geht man analog für die Multiplikation vor, erhält man für a·b:

a·b = ( k1· k2·m + k1·t + k2·s)·m+(s·t)

Auch a·b hat den Modul m und s·t wird wieder wie eine Restklasse von m behandelt.

Mit diesem Ergebnis kann man sich die Addition und Multiplikation anhand von Tabellen verdeutlichen, wobei sich die Zahlen auf die Restklassen bzgl. des Moduls beziehen.

Addition im Modul 2
Multiplikation im Modul 2
+
0
1
0
0
1
1
1
0
·
0
1
0
0
0
1
0
1

 

Addition im Modul 5
Multiplikation im Modul 5
+
0
1
2
3
4
0
0
1
2
3
4
1
1
2
3
4
0
2
2
3
4
0
1
3
3
4
0
1
2
4
4
0
1
2
3
·
0
1
2
3
4
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
2
0
2
4
1
3
3
0
3
1
4
2
4
0
4
3
2
1

Die folgenden Rechenregeln für Kongruenzen ergeben sich hauptsächlich aus der Definition der Kongruenz:

Seien a, b, c, d Z und m N mit m>1

(K1)
 a º b mod m Û b º a mod m

 

(K2)
 a º b mod m und b º c mod m Û aº c mod m

 

(K3)
 a º b mod m Þ a+c º b+c mod m

 

(K5)
 a º b mod m Þ anº bn mod m

 

(K6)
 a º b mod m und cº d mod mÞ a+c º b+d mod m

 

(K7)
 a º b mod m und cº d mod mÞ a·c º b·d mod m

 

(K8)
 ggT(m,n) =1 und a º b mod m und a º b mod n
Þ a º b mod m·n

 

(K9)
 a·b º 0 mod p und p prim
Þ a º 0 mod p oder bº 0 mod p

 

(K10)
 ggT(m,a) =1: a·b º a·c mod m Û bº c mod m

 

Mit Hilfe dieser Rechenregeln kann man nun die Fragestellungen aus der Einleitung bearbeiten.

Ist 222555 + 555222 durch 7 teilbar?

Aus den Teilbarkeitssätzen geht hervor, dass eine Summe dann durch 7 teilbar ist, wenn die Summe der Reste, die bei der Division mit Rest der Summanden durch 7, ebenfalls durch 7 teilbar ist.
Betrachtet man den ersten Summanden 222555 und dividiert mit Rest, ergibt sich mit 222 º 5 mod 7:

222555 º 5555 mod 7

Nun untersucht man die Reste der Potenzen von 5 modulo 7:

5² º 4 mod 7
5³ º -1 mod 7
.....
56º 1 mod 7

Es gilt also 56n º 1 mod 7 mit nN. Setzt man nun 5555 = 592·6+3 ergibt sich 5555 = 592·6+3 º 5³ mod 7 und somit 5555555 º -1 mod 7.

Entsprechend verfährt man mit dem 2. Summanden:

555222 º 2222 mod 7 = 23·74 mod 7 º 174 mod 7 = 1 mod 7

Insgesamt ist 222555 + 555222 º -1+1 = 0 mod 7.
Þ 7|(222555 + 555222)

 

Auf welche Ziffer endet 333222 ?

333 º 3 mod 10 Þ 333222 mod 10 = 3222 mod 10

Mit 3³ º -1 mod 10 Þ 3222 = 33·74 º (-1)74 mod 10 = 1

 

Übungen:

Auf welche Ziffern endet 6811 ?
Ist 7 ein Teiler von 212066 ?
Ist 1+ 20002001 durch 2001 teilbar?

Andreas Beller, 20.07.2001