Gemeinsame Teiler und Vielfache
Mathematik
Didaktik Seminar

Gemeinsame Teiler und der ggT

Die geometrische Vorstellung der "Ganzzahligen Streifen" lässt noch weitere Fragen zu. Eine davon ist die Frage, ob es einen Streifen t gibt mit dem sich zwei verschieden lange Streifen a und b jeweils ganzzahlig auslegen lassen. Dazu müsste gelten:

t|a :
und
t|b :

t muss also ein gemeinsamer Teiler von a und von b sein. Man findet solche t in dem man die beiden Teilermengen Ta und Tb schneidet.
In der entstehenden Schnittmenge S gibt es immer ein größtes Element, den größten gemeinsamen Teiler von a und b, kurz ggT(a,b).
Alle Teiler des ggT(a,b) sind immer auch Teiler von a und von b.

Ist der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen 1, so sind die Zahlen teilerfremd, weil sie nur den uneigentlichen Teiler 1 besitzen.

Beispiele:

a=12 Þ T(12)={1,2,3,4,6,12}

b=18 Þ T(18)={1,2,3,6,9,18}

 Also sind 1, 2, 3, 6 gemeinsame Teiler von a und b.
6 ist der größte gemeinsame Teiler von 12 und 18.
   

a=48 Þ T(48)={1,2,3,4,6,8,12,16,24,48}

b=56 Þ
T(56)={1,2,4,7,8,14,28,56}

 Als Schnittmenge ergiebt sich S={1, 2, 4, 8}. Damit ist 8 der ggT von 48 und 56.

 

Gemeinsame Vielfache und das kgV

Welche Zahlen sind sowohl Vielfache von a und von b? Um sie zu finden bildet man Va und Vb. Alle Zahlen die sowohl Vielfaches von a als auch von b sind, sind den Vielfachenmengen Va und Vb gemeinsam. Solche Elemente findet man durch Mengendurchschnittsbildung S = Va Ç Vb.

Geometrisch bedeutet dies, a immer wieder aneinander zu legen, b immer wieder aneinander zu legen und nach Streifen v zu suchen, die ein Vielfaches von a und von b sind.

Die gemeinsamen Elemente von Va und Vb heißen gemeinsame Vielfache von a und b.
Anschaulich sieht man sofort, dass a und b immer gemeinsame Vielfache haben, denn mindestens ein gemeinsames Vielfaches findet man, indem man a mal b aneinander legt.

Es gibt dann auch ein kleinstes gemeinsames Vielfaches, kurz kgV, in S. Sind a und b teilerfremd, ist dies genau a·b.

Andernfalls gilt: kgV(a,b) =
a·b
————
ggT(a,b)

Hier im Beispiel:

a=3 Þ V3={0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,...}

b=5 Þ V5={0,5,10,15,20,25,30,35,...}

Gemeinsame Vielfache sind also V6 Ç V4={0, 15, 30, ...}

 

Bei einem anderen Beispiel mit den Zahlen a=6, b=4 findet man:

V6={0,6,12,18,24,30,36,...}

V4={0,4,8,12,16,20,24,28,32,36,...}

Gemeinsame Vielfache sind somit V6 Ç V4={0, 12, 24, 36, ...}

Der ggT(6,4)=2 Þ kgV(6,4)=
6·4
————
2
=12

 

Übungen:

Zwei Zahnräder mit 30 bzw. 25 Zähnen greifen ineinander und drehen sich. Nach wieviel Umdrehungen liegen die Punkte wieder so zueinander wie in der Abbildung?
  

Die Klassenkameraden Martin, Heike und Elke gehen seit dem ersten Ferientag regelmäßig zum Schwimmen. Martin geht jeden drittenTag, Heike jeden vierten Tag und Elke jeden sechsten Tag. An welchen Tagen sind zwei (drei) von ihnen im Schwimmbad?

 

Andreas Beller, 20.07.2001