Teilbarkeitsregeln
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Mathematik
Didaktik Seminar
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Teilbarkeitsregeln
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Teilbarkeitsregeln
Man betrachte die Zahl a=111222. Kann man diese Zahl durch t = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,... teilen?
Es ist natürlich viel zu aufwändig jeden dieser möglichen Teiler durch ausrechnen zu testen oder gar zu versuchen einen Streifen mit der Länge von a in kleine Abschnitte zu falten, um zu sehen was übrigbleibt.
Die Regeln für 2, 4, 5, 10
Für
den Fall, dass a durch 2 teilbar ist, ist a ein Element der Vielfachenmenge
von 2 ist.
Aus a 
V2={0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, ...}
folgt also 2|a.
Durch genaues Hinsehen erkennt man, dass die Endziffern der Zahlen der Vielfachenmenge immer 0, 2, 4, 6, 8 lauten und damit durch 2 teilbar sind. Wir können also sagen:
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(TR1)
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2 teilt die Endziffer von a Þ 2|a |
Mit der selben Vorgehensweise erhält man auch Teilbarkeitsregeln für 4, 5 und 10.
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(TR2)
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4 teilt die Zahl aus den beiden Endziffern von a Þ 4|a |
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(TR3)
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5 teilt die Endziffer von a Þ 5|a |
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(TR4)
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Die Endziffer von a ist 0 Þ 10|a |
Die Regeln für 3, 6, 9
Um Teilbarkeitsregeln für
die Zahlen 3, 6 und 9 zu formulieren benötigt man eine weitere Zahleneigenschaft:
die Quersumme.
Die Quersumme Q(a) einer Zahl a ergibt sich aus der Summe aller Ziffern.
Beispiele
| a=17 | Q(17) = 1 + 7 = 8 | |
| a=342 | Q(342) = 3 + 4 + 2 = 9 | |
| a=11112222 | Q(11112222) = 12 |
Jede Zahl im Dezimalsystem lässt sich mit Hilfe seiner Ziffern als Summe von "Einern", "Zehnern", "Hundertern", "Tausendern", ... schreiben.
Beispiele:
| 125 = 1·100 + 2·10 + 5·1 | |
| 3546 |
=
3·1000 + 5·100 + 4·10 + 6·1 = 3·(999+1) + 5·(99+1) + 4·(9+1) + 6·1 |
Teilt man diese Summen nochmals auf die Vielfachen 9, 99, 999, 9999, ... von 9 und deren "Rest" auf (siehe oben), so ergibt sich im Beispiel 3546 folgende Tabelle:
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3546
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3546 | Vielfache von 9 |
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"Rest" | |
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|||
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=
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3·1000 |
=
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3·999 |
+
|
3 |
|
+
|
5·100 |
+
|
5·99 |
+
|
5 |
|
+
|
4·10 |
+
|
4·9 |
+
|
4 |
|
+
|
6·1 |
+
|
0·9 |
+
|
6 |
|
|
|
|
|||
|
|
=
|
392·9 |
+
|
18 | |
|
=
|
3456 |
=
|
1176·3 |
+
|
18 |
Wir haben eine Darstellung der Form
3456 = 392·9 + 18 = k·9 + Q(3456)
gefunden.
Wir wissen 3|9 und 9 teilt
392·9.
Der erste Summand ist aufgrund dieser Überlegungen durch 3 (und durch 9)
teilbar. Somit entscheidet nur noch die Summe der "Reste" über
die Teilbarkeit. Bei der gewählten Darstellung entspricht diese genau der
Quersumme.
Nach den Teilbarkeitssätzen (T2),
(T4) und (T5)
ist 3546 also durch 3 teilbar. Wir können mit allen Zahlen so verfahren.
Durch diese Überlegung erhält man auch die Regel für Teilbarkeit
durch 9.
Die Teilbarkeit durch 6 ergibt sich aus der kombinierten Teilbarkeit durch 2
und 3.
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(TR5)
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Die Quersumme von a ist durch 3 teilbar Û 3|a |
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(TR6)
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Die Quersumme von a ist durch 9 teilbarÛ 9|a |
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(TR7)
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a ist durch 2 und durch 3 teilbarÛ 6|a |
Die Regeln für 7, 11, 13 und andere mögliche Teiler
Diese Regeln erfordern weiteres mathematisches Rüstzeug und werden im Kapitel Kongruenzen behandelt.
Übung:
Formuliere eine Teilbarkeitsregel für 12 (18, 25, 100)!